考点一 直角三角形的性质
1.直角三角形的两锐角互余.
2.直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
考点二 直角三角形的判定
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形.
2.有两角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则该三角形是直角三角形.
4.勾股定理的逆定理:如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.
配套训练：
1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是( )
2.将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF的度数为 ( )
A.30° B.40° C.25° D.35°
3.如图,在△ABC中,AB=AC=8,AD是底边上的高,E为AC中点,则DE= .
4.已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为 .
命题点1 勾股定理
【例1】 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.
变式训练：有一块直角三角形的绿地,量得两直角边的长分别为6 m,8 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
命题点2 勾股定理的逆定理
【例2】 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=4,CD=13, CB=12,求四边形ABCD的面积.
命题点3 勾股定理的实际应用
【例3】 如图,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距14 km,C,D为两村庄(可看为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=8 km,CB=6 km,现要在铁路上建一个土特产收购站E,使C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?
命题点4 直角三角形性质的综合应用
【例4】 已知,在△ABC中,AB=AC,过点A的直线α从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ,直线α交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),△BMN的边MN始终在直线α上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN.
(1)当∠BAC=∠MBN=90°时,
①如图a,当θ=45°时,∠ANC的度数为 ;
②如图b,当θ≠45°时,①中的结论是否发生变化?说明理由.
(2)如图c,当∠BAC=∠MBN≠90°时,请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系,不必证明.
春城无处不飞花，寒食东风御柳斜。
日暮汉宫传蜡烛，轻烟散入五侯家。
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