超越数包括著名的例子，如e和π，但数学家花了几个世纪才理解它们。
作者：David S. Richeson（量子杂志特约专栏作家，迪金森学院Dickinson College数学教授） 2023-6-27
译者：zzllrr小乐（数学科普微信公众号）2023-6-28
1886年，数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）有一句名言：“上帝自己创造了整数——其他一切都是人的工作。”事实上，除了用来计数的数字之外，数学家还引入了新的数字集合，并且他们努力理解它们的性质。
尽管每种类型的数字都有其迷人而复杂的历史，但今天它们都非常熟悉，以至于被教给学童。整数（Integer）就是正整数，加上负整数和零。有理数（rational number）是那些可以表示为整数商的有理数，例如 3、− 1/2 和 57/22。它们的十进制展开要么终止（− 1/2 = − 0.5），要么最终重复（57/22 = 2.509090909...）。这意味着如果一个数字有十进制数字，并且永远不重复，那就是无理的（irrational）。有理数和无理数共同构成了实数（real number）。高级学生学习复数（complex number），复数是由实数和虚数（imaginary number）组合而成的；例如：i=√−1。
一个数字集合，超越数（transcendentals），并不为人所熟知。矛盾的是，这些数字既丰富又极难找到。它们的历史与一个困扰数学家几千年的问题交织在一起：只使用圆规和直尺，你能画出一个与给定圆面积相同的正方形吗？这个问题被称化圆为方（squaring the circle），只有在代数的发明和对π（任何圆的周长与其直径的比值）有了更深入的理解之后才能得到回答。
发现一组新数字意味着什么？今天i们说，生活在大约公元前五世纪的梅塔蓬图姆（Metapontum）的希帕索斯（Hippasus）发现了无理数。事实上，他的发现是几何的，而不是算术的。他表明，可以找到两条线段，比如正方形的边和对角线，不能分成等长的部分。今天i们会说它们的长度不是彼此的有理倍数。因为对角线是边长的√2倍，√2是无理的。
不可能将正方形的边和对角线分成等长的部分。在这里，一个长度将边分成 10 个相等的部分，但对角线被分成 14 个相等的部分，还有一小部分剩余量。
就仅用圆规和直尺（古代的数学工具）可能的构造而言，如果i们从单位长度的线段开始，则可以构造具有任何正有理长度的线段。但是，i们也可以构造一些无理长度。例如，i们已经看到了如何制作√2；另一个著名的无理数，黄金比例，(1+√5)/2，是边长为 1 的正五边形的对角线长度。
在希腊人首次提出化圆为方问题大约 2000 年后，勒内·笛卡尔（René Descartes）应用了新的代数技术，在他 1637 年的论文《La Géométrie（几何）》 中表明，可构造的长度正是那些可以用整数及加法、减法、乘法、除法和平方根的计算等运算来表示的长度。请注意，所有正有理数都有这种形式，就像√2和黄金比例。如果π可以这样写，它最终会让几何学家化圆为方 - 但π并不容易分类。
在接下来的200年里，代数显著成熟，1837年，一位名叫皮埃尔·旺泽尔（Pierre Wantzel）的鲜为人知的法国数学家将可构造数（constructible number）与多项式（polynomial）联系起来——多项式——涉及变量各种幂的数学表达式。特别是，他证明了如果长度是可构造的，那么它也必须是某种类型（不能进一步分解或简化）的多项式的根（使多项式为零的值），并且其次数（x的最大指数）是2的幂（如2，4，8，16等）。
例如，√2和黄金比例是可构造的，它们分别是多项式x²–2和x²–x–1的根。另一方面∛2是 3 次多项式x³–2的根，这不符合条件，因此不可能构建这种长度的分段。
旺泽尔用他的结果来解决其他经典问题，证明它们无法解决——不可能将某些角度三等分，不可能将立方体加倍（倍积立方），也不可能构造某些正多边形。但由于π的确切性质仍然是个谜，因此化圆为方问题仍然悬而未决。
事实证明，解决这个问题的关键是巧妙地将复数集分成两组，就像前几代人将实数分为有理数和无理数一样。许多复数是一些具有整数系数的多项式的根；数学家称这些数字为代数数（algebraic）。但并非所有数字都是如此，这些非代数的值称为超越数（transcendental）。
每个有理数都是代数数，一些无理数也是代数数，比如∛2。即使是虚数i，也是代数数，因为它是x²+1的根。
此图显示了各种数字之间的关系。无理数是任何非有理数的实数，超越数是任何非代数数的复数。
超越数的必然存在并不明显。此外，证明给定的数字是超越数具有挑战性，因为它需要证明一个否定结论：它不是任何具有整数系数的多项式的根。
1844年，约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）通过间接解决问题找到了第一个（超越数）。他发现无理代数数不能用有理数很好地近似。因此，如果他能找到一个用小分母的分数近似的数字，那一定是别的东西：一个超越数。然后他构建了这样一个数字。
刘维尔制造的数字，L=0.1100010000000000000000010...，仅包含 0 和 1，其中 1 出现在某些指定位置（n!的值）。所以第一个 1 在第一 （1！）位 ，第二个1在第二（2！） 位，第三个1在第六（3！）位，依此类推。请注意，由于他的精心构造，1/10、11/100 和 110001/1000000 都是 L 的非常好的近似值——比给定分母大小所期望的要好。例如，这些值中的第三个值有 3！（六位）小数位，0.110001，而共有23（4!−1）位与L一致。
尽管数字L证明了超越数的存在，但π并不满足刘维尔的标准（它不能用有理数很好地近似），所以它的分类仍然难以捉摸。
关键的突破发生在1873年，当时查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite）设计了一种巧妙的技术来证明自然对数的底数e是超越数。这是第一个非人为的超越数，九年后，它使得费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）推广埃尔米特的技术，以证明π是超越数。事实上，他走得更远，证明了当 d 是非零代数数时，eᵈ是超越数。改写一下，这是说如果eᵈ是代数数，那么d要么是零，要么是超越数。
为了证明π是超越的，林德曼随后利用了许多人认为是全部数学中最美丽的公式，即欧拉恒等式：e^(πi)=-1。因为 -1 是代数数，林德曼定理指出：πi是超越数。因为i是代数数，π必须是超越数。因此，长度π是不可能构造的，因此不可能化圆为方。
虽然林德曼的结果是一个故事的结束，但这只是超越数故事的早期篇章。还有很多工作要做，特别是，正如我们将看到的，这些不合群的数字是多么普遍。
在埃尔米特证明e是超越数之后不久，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）证明了无穷有不同的大小。有理数的无穷与整数的无穷相同。这样的集合被称为可数无穷（countably infinite）。但是，实数和无理数的集合更大；从某种意义上说，康托尔精确地说，它们是“不可数的”（uncountably）无穷。在同一篇论文中，康托尔证明，尽管代数数的集合包含所有有理数和无穷多个无理数，但它仍然是较小、可数的无穷。因此，它的补集，即超越数，是不可数无穷的。换句话说，绝大多数实数和复数都是超越的。
然而，即使在20世纪之交，数学家也只能最终确定少数几个。1900年，当时最受尊敬的数学家之一大卫·希尔伯特（David Hilbert）列出了数学中最重要的23个未解决的问题。他的第七个问题，他认为是更难的问题之一，是证明当a是不等于0或 1的代数数，并且b是代数无理数时，aᵇ是超越数。
1929年，年轻的俄罗斯数学家亚历山大·盖尔范德（Aleksandr Gelfond）证明了一个特例：b=±i√r和r是一个正有理数。这也意味着e^π是超越数，这很令人惊讶，因为e和π都不是定理所要求的代数数。然而，通过再次巧妙地操纵欧拉恒等式，我们看到
不久之后，卡尔·西格尔（Carl Siegel）推广了盖尔范德的证明，包括b的值，这些值是实二次无理数，使他得出结论：2^√2是超越数。1934年，盖尔范德和西奥多·施耐德（Theodor Schneider）独立地完全解决了希尔伯特的这个问题。
超越数论的研究仍在继续。在1960年代中期，艾伦·贝克（Alan Baker）发表了一系列文章，概括了Hermite，Lindemann，Gelfond，Schneider等人的结果，对代数数和超越数有了更深入的理解，由于他的努力，他在1970年获得了菲尔兹奖，当时他31岁。这项工作的一个成果是证明了某些结果，如2^√2 × 2^∛2和2^√2 × 2^√3都是超越数。除了扩展我们对数本身的理解外，他的工作还应用于整个数论。
今天，关于超越数的开放问题比比皆是，并且有许多特定的，看起来非常超越的数字，其分类仍然未知：eπ，e+π，e^e，π^π和π^e，仅举这几例。正如数学家爱德华·蒂奇马什（Edward Titchmarsh）所说的π的无理性一样，知道这些数字是超越的可能没有实际用处，但如果我们可以知道，不知道肯定是无法容忍的。
参考资料
https://www.quantamagazine.org/recounting-the-history-of-maths-transcendental-numbers-20230627/
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