转子动力学为固体力学的分支。主要研究转子-支承系统在旋转状态下的振动、平衡和稳定性问题,尤其是研究接近或超过临界转速运转状态下转子的横向振动问题,其目的为旋转机械转子的设计、效率、安全和寿命提供理论和技术上的支持和保障。转子是涡轮机、电机等旋转式机械中的主要旋转部件。
运动方程为:
一、单盘转子模态分析
1、问题描述
如图刚性支撑单圆盘转子,圆盘质量m=20kg,半径R=120mm,转轴的跨度l=750mm,直径d=30mm。圆盘到左支点的距离a=l/3=250mm。求该转子临界转速及振型。(摘自《转子动力学》钟一谔 1987年 P14页 )
刚性支撑单圆盘转子
2、理论解
仅考虑轴的弯曲不计轴的质量,加上回转效应时的频率方程为:
其中:
为待求涡动频率。定义不同的转速 ,代入上式便可求得对应的各阶涡动频率(正进动和反进动)。
通过上述涡动频率可绘制出坎贝尔图,图中的曲线与 直线的交点为该转子的一倍频临界转速,共有三个,故该刚性支撑单圆盘转子前三阶固有频率为:
2265.09 rpm
2333.85 rpm
8069.16 rpm
3、ANSYS APDL分析
圆盘采用MASS21单元模拟,转轴采用BEAM188单元模拟,轴的两端为简支约束。其有限元模型如下图所示,求解可得到各阶涡动频率:
使用plorb命令输出各阶振型轨迹:
使用plcamp命令得到坎贝尔图:
如上图得到前三阶临界转速为:
2263.8rpm
2333.0rpm
8078.1rpm
4、ANSYS Workbench分析
圆盘通过Point Mass模拟,转轴在DM里面通过直线绘制赋予截面的方式模拟,轴的两端为简支约束。其有限元模型如下图所示,求解可得到各阶涡动频率:
在Solution中导出前四阶振型如下:
点击Campbell Diagram输出坎贝尔图:
如上图得到前三阶临界转速为:
2226.4rpm
2293.8rpm
7928.1rpm
5、结果对比
误差范围内,APDL和WB的精度均满足需求。读者可采用三维模型求解与一维模型结果对比,若圆盘没使用Point Mass模拟而采用直接实体模型,得到的振型图与一维模型结果略有差异。
二、多圆盘转子不平衡响应分析(APDL)
1、问题描述
如图1所示刚性支承两圆盘转子,圆盘质量m=102kg,半径R=500mm,转轴的直径d=50mm,a=400mm,设圆盘偏心e1=0.05mm,e2=0.03mm,
=60°。求该转子涡动频率、振型、临界转速及不平衡响应。(详见《转子动力学》钟一谔 第二章刚性支承多圆盘转子的临界转速和不平衡响应,例子源于P29)
图1 刚性支承两圆盘转子
设圆盘的质量、直径转动惯量和极转动惯量分别为mi、Jdi和Jpi(i=1,2)、各轴段长为a,抗弯刚度为EI,其运动微分方程为:
其中
柔度矩阵是
而
因此系统在xos平面的运动微分方程是
为求转子的模态频率及模态振型,只需通过在任一固定平面内的运动微分方程即可求得,令
代入上式
故频率方程为
这是一个有关
绘制涡动角速度随自转角速度变化曲线可得坎贝尔图,令
代入频率方程,即可分别解出在同步正涡动和同步反涡动下的临界转速。
表1 临界转速
所谓转子的临界转速通常是指同步正向涡动时的临界转速。对于本算例的两圆盘转子系统,临界转速只有两个,即1158r/min和3183r/min。
坎贝尔图(左)各阶振型图(右)
在无阻力情况下,当各圆盘具有偏心的不平衡质量时,令
则转子的运动微分方程可写成
其中
设不平衡响应的特解为
其中
为待定的复数列阵。把特解代入运动微分方程可得
这是2N个线性非齐次代数方程组,对于给定的
,上式等号左边各项系数均为实数,可以解得
因为 是2N阶复数列阵,其中有N个元素为零,故
中每一元素均为N个复数之和,即仍为一复数,故可表为
其中
都是已确定的值,代入特解可得
对于本例子,把数据代入特解表示的运动微分方程可得
其中
则当
时,可解得
2、ANSYS APDL分析
采用MASS21单元模拟圆盘,采用BEAM188单元模拟转轴,轴的支承处为简支约束。
后处理中采用PLCAMP命令得到坎贝尔图如下。
坎贝尔图
从图1可以看出,转子的临界转速按阶数由低到高分别为546.41prm、1148.76rpm、2217.89rpm、3162.96rpm、2097.02rpm、0、3591.12rpm、0,与理论解一致。
在谐响应分析中,以复数形式输入偏向质量所产生的不平衡力(X轴为旋转轴)。
对于圆盘1为
F,N1,FY,m1*e1*cos 1,-m1*e1*sin 1
F,N1,FZ,-m1*e1*sin 1,-m1*e1*cos 1
对于圆盘2为
F,N2,FY,m2*e2*cos 2,-m2*e2*sin 2
F,N2,FZ,-m2*e2*sin 2,-m2*e2*cos 2
在后处理中采用PLVAR命令输出圆盘1和圆盘2节点的总位移变化曲线。
圆盘节点位移随激励频率变化关系
从图2可以看出,曲线在19.2Hz和52.7Hz出现峰值,该两个峰值频率对应同步正进动(涡动)临界转速1152rpm和3162rpm,与模态分析结果相对应。
当频率为19.2Hz时,采用PLORB命令得到转子系统的轴心轨迹图如下。
轴心轨迹图(1152rpm)
当频率为52.7Hz时,采用PLORB命令得到转子系统的轴心轨迹图如下。
轴心轨迹图(3162rpm)
当转速为250 1/s,即39.8Hz时,采用PLORB命令转子系统的轴心轨迹图如下。
轴心轨迹图(2387.32rpm)
采用PRORB命令输出该转速下的轴心轨迹数据,两圆盘中心轨迹为
轴心轨迹数据(2387.32rpm)
图6中A代表椭圆的长轴、B代表椭圆的短轴,圆盘1的轴心轨迹是半径为0.797e-4m的圆,圆盘2的轴心轨迹是轨迹为半径0.308e-4m的圆,与理论解一致。
三、双转子电机不平衡响应分析(ANSYS Workbench)
1、问题描述
如图所示的电机含有两个转子:内转子和外转子。
内转子是一根实心轴,较长;它的两端通过轴承与机架相连;在两端距离轴承不远的地方装有两个圆盘(图中没有绘制,在有限元分析中圆盘会用质量单元表示),而且右边的圆盘上存在不平衡质量,该不平衡质量产生了不平衡的力(f0 = 70e-6kg·m)。
外转子是一根空心轴,它套在内转子外面。外转子的左端与机架通过轴承相连,右端面通过轴承与内转子连接(图中没有表示出来)。在外转子上也有两个圆盘,这两个圆盘不存在偏心质量的问题。
内转子的转速是14000rpm,而外转子的转速是内转子的1.5倍,即21000rpm。
现在要对该双转子电机进行转子动力学仿真,具体是做谐响应分析,目的是考察:
(1)7号节点(内转子上)和12号节点(外转子上)的幅值与频率的关系图。也就是要绘制这两个点的幅频关系曲线。
(2)在某一个给定频率处的转轴轨迹图。
(3)在某一个给定频率处转轴的涡动动画。
注:例子来自ANSYS help中转子动力——8.7. Example Unbalance Harmonic Analysis。
双转子电机示意图
2、模型建立
ANSYS DM中插入内转子与外转子模型,具体方式为file—import shaft geometry,得到模型如下:
3、约束加载
在ANSYS Mechanical里面,分别给内转子的2号节点、7号节点和外转子的10号节点、12号节点添加圆盘相关参数(质量和转动惯量);随后在connection里添加轴承约束;在7号节点的施加不平衡力,其中y方向为70e-6,z方向为-70e-6;在Analysis Setting中设置激励频率为0~233.3Hz,结果点数为500,采用完全法求解,常阻尼比为0.02.
4、模拟结果
ANSYS Workbench得到7号节点(内转子上)和12号节点(外转子上)的幅值与频率的关系图如下:
在262步,122.267Hz下的轨迹如下:
四、小结
在转子动力学方面,ANSYS APDL和ANSYS Workbench都能得到一致的结果,现阶段APDL的后处理效果相对更加丰富,而Workbench对于复杂模型操作更便捷,读者可以适当取舍,把Workbench结果导入APDL中作后处理。
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