信号的时域与频域

关键词：时域、频域、傅里叶变换

一．信号完整性分析-时域与频域

广义上讲，信号完整性是指在电路设计中互连线引起的所有问题，它主要研究互连线的电气特性参数与数字信号的电压电流波形相互作用后，如何影响到产品性能的问题。主要表现在信号反射、串扰、开关噪声、损耗、容性负载、电磁干扰等因素对信号质量以及总线时序的影响。

低速系统中这些问题并没有表现出来，而到了高速系统将不能忽视这些信号完整性问题。所有这些信号完整性问题都会在信号的时域波形上有所体现，比如说由反射产生的过冲、振铃、边沿不单调等，以及容性负载导致的信号边沿变缓等问题。一些问题我们可以通过结合PCB布线来分析时域的波形使问题得以解决，但总有一些问题从时域入手可能并不会有很好的效果，这个时候就需要引入频域的分析。

二．信号的时间域

时域是唯一一个实际存在的域，是信号在时间轴随时间变化的总体概括。

时域的图形，可以通过示波器来显示，也可以用矢量投影来表示随时间变化的波形。如下图所示，用通过匀速的角速度在圆周上旋转运动，其在纵轴上投影的幅度表示正弦信号的振幅：

图片来源：芯语

时间轴上的振幅对应于投影在虚轴上的矢量分量，即：

矢量的角频率可以由下式得到：

三．信号的频率域

频域是数学构造的，是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。在射频以及高速数字设计中会非常频繁的通过频域的特点来解决产品设计问题：①频域中不能产生新的信息；②阻抗在时域和频域中都有定义，在频域中分析阻抗问题是首选；③在频域中考虑电源和地分布阻抗，可以对轨道塌陷（IR Drop）问题提供更好的解决方法。

正弦波是频域唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述。正弦波具有四个性质使其能够胜任本工作：任何波形都能够用正弦波的组合完全且唯一的描述；任何两个频率不同的正弦波是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为0，这说明可以将不用的频率分量相互分离开；其有精确的数学定义；正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。现实世界是无穷的，因此可用正弦波来描述现实中的波形；电路一般用R,L,C组合来表征，这些元件的二阶线性微分方程的解是正弦波。

上图分别为正弦波的时域与频域图，从正弦波的时域图可以看出峰值振幅为8V，可以算出频率f=5 Hz。在频域图中，横轴是频率，纵轴是峰值振幅。可以看出，正弦波的频率为5Hz，这个5Hz的正弦波的峰值振幅为8V 。频域图的优点是，从频域图中，可以一眼看出正弦波的频率和峰值振幅。整个正弦波在频域图上只是一个立柱，立柱的位置显示了正弦波的频率，立柱的高度显示了正弦波的峰值振幅。而在时域中，需要标记很多的振幅-时间数据。

四．从时域波形变换到频域频谱

对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性，信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同。因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述。

贯穿时域与频域的方法之一就是傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数和傅里叶变换，傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数。

傅里叶级数：任何时间域中的周期性信号都可以分解为不同频率和振幅的正弦信号的总和，在工程上这种展开叫做谐波分析。

这样就把时域中的数字信号分解成由直流分量、基波以及多次谐波分量，而每一个谐波分量都是频率为基波整数倍的正弦波。在频域中仅仅用一个点就可以描述一个频率的正弦波的所有信息（频率、幅度、相位），这样就成功将时域信号转换到频域。正弦波的频率分量及其幅度的集合称为频谱。

傅里叶变换：非周期信号在频域为连续频谱，其频谱密度与频率有关。

五．从频域变换到时域

同样也可以通过将频域上的谐波分量转化到时域从而重构时域的波形。重构时域波形时所包含的频域分量越多所得到的时域波形越接近真实的数字信号。当然要想得到完全真实的信号波形是不可能的，我们无法将所有频域分量集合来重构信号波形，信号完整性分析往往需要考虑精度和效率的平衡。

图片来源：CSDN

为了重新生成时域波形，可以提取出频谱中描述的所有正弦波，并在时域中的每个时间间隔点处把它们叠加。从低频端开始，把频谱中的各次谐波叠加，就可得到时域中的波形。上图是不同频率分量叠加所形成的时域信号。

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