我们谈公因数和最大公因数，在小学教材中只是要求会求两个正整数的公因数和最大公因数，那么下面所谈到的内容都是相对于两个正整数来说的。
公因数的上位概念是因数。因为一个正整数最小的因数是1，最大的因数是它本身，所以任一个正整数的因数个数是有限的。
由此可以得到，两个正整数的公因数个数也必然是有限的。在这些有限的公因数中，最小的一个公因数就是它们的最小公因数，最大的一个就是它们的最大公因数。由于每个正整数的因数中，1都是因数中最小的一个，所以1是所有正整数的公因数，即两个正整数的最小公因数就是1。那么两个正整数的最大公因数该如何求呢？
求最大公因数，一般有以下几种方法：（以12和16为例）
1、列举法
12的因数有：1,2,3,4,6,12
16的因数有：1,2,4,8,16
12和16的最大公因数就是4。
这种方法适用于较小的正整数求最大公因数，也是教材主打方法。
2、短除法
12和16的最大公因数是：2×2=4。
把从小到大的质数依次做除数去除（同一个质数可除若干次），直到除出的两个数互质为止，这时将所有除数相乘，得到的积就是原来两个正整数的最大公因数。
3、分解质因数法
12=2×2×3，16=2×2×2×2，将公有质因数的最低次幂相乘，2×2=4，所以12和16的最大公因数就是4。
4、辗转相除法（欧几里得算法）
辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将除数变成被除数，余数变成除数，继续上面的除法，直到余数为0。则这时的除数就是原来两个数的最大公因数。
16÷12=1……4
12÷4=3……0
所以4就是12和16的最大公因数。
当然，求最大公因数的方法一旦学会，计算就十分简单。但在学习最大公因数时仍要注意以下几点：
1、注重对最大公因数现实意义的理解
数学既来源于生活，又要解决生活中的问题。在现实生活中，利用最大公因数来解决的问题有很多，如给客厅铺瓷砖，已知客厅长8米宽6米，可以选择边长为多少分米的瓷砖（只能用整块铺）？边长最长是多少分米？此时要买多少块？让他们在解决问题的过程中，抽象出数学概念，去深刻理解最大公因数的现实意义。
2、注重渗透集合思想
利用韦恩图来学习公因数和最大公因数，既直观又形象，能够很好地感受公因数的本质属性，同时又可以体会到集合的思想。
如求12和16的公因数与最大公因数。
3、注重思维灵活性的培养
在求两个正整数的最大公因数过程中，会出现有倍数关系的两个数和有互质关系的两个数，可以采用由一般到特殊的方法，在大量实例中找到求它们最大公因数的特殊规律。
有倍数关系的两个数，较小数是这两个数的最大公因数；有互质关系的两个数，最大公因数是1。不同情况的两个数，采用不同的方法去求它们的最大公因数，让学生在分析思考的过程中，达到发展思维灵活性的目的。
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