有一张边长为24厘米的的正方形纸板,从它的四个角上分别剪去一 个边长为整厘米数的小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒。如果要使做成的纸盒的体积最大,那么剪去的小正方形的边长应为多少厘米?
学生1:
解析:用假设法
如果剪掉的小正方形的边长为1厘米,那么纸盒的长就是22厘米,高就是1厘米,宽就是22厘米,然后22乘1乘22就等于体积484立方厘米。。。。。。
如果剪掉的小正方形的边长为2厘米,那么纸盒的长就是20厘米,高就是2厘米,宽就是20厘米,然后20乘2乘20就等于体积800立方厘米。。。。。。
如果剪掉的小正方形的边长为5厘米,那么纸盒的长就是14厘米,高就是5厘米,宽就是14厘米,然后14乘5乘14就等于体积980立方厘米。。。。。。
如果剪掉的小正方形的边长为8厘米,那么纸盒的长就是8厘米,高就是8厘米,宽就是8厘米,然后8乘8乘8就等于体积512立方厘米。。。。。。
如果剪掉的小正方形的边长为11厘米,那么纸盒的长就是2厘米,高就是11厘米,宽就是2厘米,然后2乘11乘2就等于体积44立方厘米。。。。。。
如果剪掉的小正方形的边长为12厘米的这一假设不成立,因为长是0厘米。这题也可以用列表格的方法来整理条件。
如下图所示:
从图中我发现了一个规律:长+高+宽 之和都比上一个长+高+宽之和少3。最后把这11个算出来的体积,从小到大排列,也就是44小于160小于324小于484小于512小于700小于800小于864小于972小于980小于1024,所以剪掉的4个小正方形的边长为4厘米,这样才能使纸盒的体积最大。
假设是解决问题的常用方法,能用这种思想方法去分析与思考是值得称赞的!!!
学生2:
使它的容积最大,就是使它的体积最大,那我们就可以试一下:
假设小正方形边长为1cm,体积就是1×22×22=484cm³,
假设小正方形边长为2cm,体积就是2×20×20=800cm³,我们可以发现体积变大了,那我们继续尝试:
假设小正方形边长为3cm,体积就是3×18×18=972cm³,
假设小正方形边长为4cm,体积就是4×16×16=1024cm³,
假设小正方形的边长为5cm,体积就是5×14×14=980cm³,
我们明显可以发现当小正方形边长为5cm时,体积变小了,那么通过尝试我们可以得出当容积最大时,小正方形的边长为4cm。
但是我们知道用尝试的方法既浪费时间又麻烦,那么有没有其他更简单的方法呢?对此我进行了探索。
在这个过程中,我用了设未知数的方法:设正方形,边长为x厘米,那么体积就是(24-2x)² × x。根据“(a-b)²=a²-2ab+b²”,我们可以将(24-2x)² × x分解成(24²-2×24×2x+4x²)x。可是我发现目前我求不出x的值。所以,设未知数这个方法对于我来说不可行。
所以,目前,我用了尝试的方法求出小正方形的边长为4cm,体积为1024cm³。
由假设法推出小正方形的边长为4cm时,做成的长方体容积最大。这种归纳的方法“既浪费时间又麻烦,那么有没有其他更简单的方法呢?”虽然没用找到解决问题的途径,但这种敢于探索一般解法的精神值得点赞,同时也体现出这位学生的数学理性精神正在“生根、发芽”!
联系客服