等差数列的求和问题

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的和是多少？学生很容易解答，首尾相加的和乘5就可以了。推广一下，1+2+3+……+99+100的和是多少？方法同样可以适用，用首尾相加的和乘55就可以了。

但是题目变为1+3+5+7+9+11+13+15+17+19的和是多少？很多学生就不知道首尾相加的和乘几了，他们通常采用的方法就是数一数有多少个数再除以2。是的这样不会出错，如果要遇到9+11+13+……+105+107+109这类题怎么办呢？

有人说，利用等差数列的求项数公式不就可以了吗？这样真的可以吗？事实证明，多数学生是当时记住了公式会做题，过段时间忘了公式不会做。要想解决这个问题，就要真正理解求项数公式的本质。

我们以9+11+13+……+105+107+109为例进行说明。

如果题目变为“9+10+11+12+13+14+……+107+108+109+110”，那么这道题有多少项呢？对学生来说这是容易的，110-9+1=102（项）。这里面的“10、12、14、……、108、110”都是辅助我们找“项数”的数字，这些数字中的每一个数字恰好与原题中的每一项组成一组，这样共有102÷2=51（组）。这也就是说，原题中共有51项。最后用首尾相加的和乘51再除以2便可以得到该题的和，即（9+109）×51÷2=3009。

下面用公式来验证一下。先按照求项数公式，项数=（尾项-首项）÷公差+1，即（109-9）÷2+1=51（项）。再根据求和公式：（首项+尾项）×项数÷2，则有9+11+13+……+105+107+109=（9+109）×51÷2=3009。

对于小学生来说，像1+2+3+……+99+100这样公差为1的数列求和相对容易些，因为就像一个一个地数数一样，计算起来较为方便。即使数列的首项不是1，他们也能很快算出项数，如6、7、8、……、77、78，只要用78-6+1便可以求出。因此，等差数列的求和问题的关键是如何求数列的项数，而求项数的关键是在真正理解公式的基础上掌握并运用公式。如上例“9+11+13+……+105+107+109”，在求项数时，就可以理解为：“9+10+11+12+13+14+15……+106+107+108+109”两项为一组还剩一项“9”，用（109-9）÷2便得到50组，再加上“9”这一项，所以一共有50+1=51（项）。这便是“（尾项-首项）÷公差+1”的道理。

有了理解做基础，再去计算等差数列的求和问题就相对简单多了。比如：计算24+27+30+33+……+87+90，这是求等差数列和的问题，只要用首尾相加的和乘项数除以2便可以求出。首项与尾项都非常好找，求项数就成为解题的关键。

24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+……85+86+87+88+89+90，每三项为一组正好还剩下一项“24”，便用（90-24）÷3+1=23（项），这就是用“（尾项-首项）÷公差+1”得到项数的道理，所以有24+27+30+33+……+87+90=（24+90）×23÷2=1311。