思维进阶的力量——从求异到创新

创新是人的创造性行为，需要对常规思维或已有知识进行再创造，是对知识的广度和深度进行更高的观察和思考，是一个人实现自我发展的基本路径。因此，培养学生的创新能力是数学教学的主要目的。

如，在学习体积单位时，学生对“棱长为1米的正方体的体积就是1立方米，棱长为1分米的正方体的体积就是1立方分米，棱长为1厘米的正方体的体积就是1立方厘米等”体积单位的认识是孤立的，是存有疑问的，必须要与他们的已有知识体系相结合，进行再创造、再融合，实现其知识体系的发展与完善。

在长度测量中，人们规定：光在1/29979245秒内所走的长度，称为“1米”。在此基础上，其它的长度单位也就应运而生了。当人们用“米”作单位去测量较远的距离时，发现测量速度太慢，测量单位太小，于是便尝试用“十米”、“百米”、“千米”等作单位去测量，确实快了许多。但是，用单位“米”去测量不满整米数的物体长度时，遇到了麻烦，必须要用比“米”小的单位才能去测量。于是，人们就把1米的长度等分十份，每一份的长度称为1分米，再把1分米的长度等分十份，每份的长度为1厘米，把1厘米的长度等分十份，每份长度为1毫米等。

人们在一维的长度测量单位基础上，接着怎样去创造二维的平面测量单位呢？

由于已经规定了长度单位“米”，于是人们就据此规定了一个测量面积的标椎单位“平方米”，即边长为1米的正方形面积就是1平方米。按此逻辑进行推理，边长为1分米的正方形面积就是1平方分米，边长为1厘米的正方形面积就是1平方厘米，等。显然，1平方米是由1米乘1米得到的，1平方分米是由1分米乘1分米得到的，等。可见，两个相同的长度单位相乘，可以得到一个测量二维平面的面积单位，并且由此也可以推导出相邻两个面积单位之间的大小关系。如：1平方米=1米×1米=10分米×10分米=100平方分米。

按照这种方法便可以推导出测量三维空间的体积单位。人们先规定了一个标准的体积单位“立方米”，即棱长为1米的正方体的体积就是1立方米，那么棱长为1分米的正方体的体积就是1立方分米，棱长为1厘米的正方体的体积就是1立方厘米等。同样，三个相同的长度单位相乘，便可以得到一个测量三维空间的体积单位，并且由此也可以推导出相邻两个体积单位之间的大小关系。如：1立方米=1米×1米×1米=10分米×10分米×10分米=1000立方分米。

运用这种结构化的视角，去探索长度单位、面积单位及体积单位之间的产生与联系，不但可以理解单位产生的道理，单位与单位之间的联系，而且还可以起到整合知识体系，使之达到融会贯通的作用，真正实现创新认知、提高解决问题能力的目的。

再如，有一张边长为24厘米的的正方形纸板，从它的四个角上分别剪去一个边长为整厘米数的相同小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。如果要使做成的纸盒的体积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少厘米？

读完题后，多数学生是这样思考的：在周长相等的前提下，正方形面积要比长方形面积大。按照这种解题经验，这道题是不是做成正方体无盖纸盒时，体积最大呢？即：24÷3=8cm，8³=512cm³。

这只是一种猜想，正确与否还需要进行验证。

下面他们通过归纳推理进行验证：

我们可以从剪去边长1厘米的小正方形算起，去寻找到答案。

边长为1厘米时：24-1-1=22(厘米)，22×22×1=484(立方厘米)；

边长为2厘米时：24-2-2=20(厘米)，20×20×2=800(立方厘米)；

边长为3厘米时：24-3-3=18(厘米)，18×18×3=972(立方厘米)；

边长为4厘米时：24-4-4-16(厘米)，16×16×4=1024(立方厘米)；

边长为5厘米时：24-5-5=14(厘米)，14×14×5=980(立方厘米)；

……

从剪去边长为5厘米的小正方形开始，纸盒体积越来越小。

所以，要使做成的纸盒体积最大，剪去的小正方形的边长应为4厘米。这与我们假设剪去的小正方形的边长应为8厘米，是完全不同的结论，说明猜想是错误的。

这种方法也不失为是一种好的解答方法，那么为什么剪去小正方形的边长应为4厘米时，做成的纸盒体积才最大呢？其中有什么道理吗？提出质疑，激发创新。

不妨假设正方形纸片的四角分别剪去一个边长为X厘米的小正方形，则折成长方体体积=（24-2X）（24-2X）X

这是三个数的乘积，要使积最大，就要让这三个数最接近或等于他们的平均值。但是，（24-2X）、（24-2X）、X三个数的和未知，无法找到他们的平均值。所以就要对（24-2X）（24-2X）X进行变形，与已知条件“24”取得联系。

（24-2X）（24-2X）X

=2（12-X）2（12-X）X

=2（12-X）（12-X）2X

因为因数“2”是定值，只要（12-x）（12-x）2x乘积最大，长方体体积就最大。

又因为（12-X）+（12-X）+2X=24，要想乘积最大，可以使12-X=12-X=2X，所以12-X=2X=8，即X=4。

则（24-2X）（24-2X）X

=（24-2×4）×（24-2×4）×4

=256×4

=1024（立方厘米）

所以剪去小正方形的边长应为4厘米时，做成的纸盒体积才最大。

虽然从归纳推理的角度可以解决这个问题，但是并不明白“剪去小正方形的边长应为4厘米时，做成的纸盒体积最大”的理由。如果用字母去表示数，得到纸盒体积的表达式，转化为乘积最值问题进行解答，不但能解决问题而且可以说出小正方形边长为4cm的道理，真正做到“不但知其然，而且知其所以然”。能从这样的高度去分析问题、解决问题，对创新思维能力的发展也是大有裨益的。

亚里士多德曾经说过：思维从疑问和惊奇开始。培养学生质疑能力的方法很多，关键在于引导学生主动参与学习的全过程，让他们对所学知识感到有疑问可想、有疑问可提、有疑问可议，并进行有针对性的训练以不断提高质疑的能力。待学生学会了质疑之后，再去培养创新精神与创造能力也就落到了实处。