与三角形中点和中位线相关的辅助线(1)

与三角形中点和中位线相关的辅助线的添线方法是一个难点。添加中点或中位线的目的往往是为了构造全等三角形，从而证明相等的角或边，达到角或线段的转化。

题目往往涉及一个中点或两个中点。

当只有一个中点时，若为等腰三角形，则结合等腰三角形“三线合一”的性质；若为直角三角形，则结合直角三角形斜边中线的性质。若为普通三角形，则往往采用倍长中线法构造全等三角形或平行四边形。

当有两个中点时，则结合梯形和三角形的中位线定理，构造中位线。尤其对于三角形而言，要转准三角形和“第三边”，合理构造中位线，结合中位线定理的位置关系和数量关系，助力问题解决。

      

       如下图，是教材22.6(2)例题8的变式，根据条件和结论的不同组合，可以有以下5种不同的辅助线的添线方法。方法1：构造中位线；方法2和方法3：倍长中线法(借助图形的旋转构造)；方法4：截取线段相等(借助图形的翻折构造)；方法5：向三边作垂线(此时需要有平分角的条件存在，借助角平分线性质定理的逆定理)。

详细的证明方法可以点击以下链接：一道梯形几何证明的解法探究(1)；一道梯形的几何证明解法探究(2)。

解法分析：本题的题目背景有两个中点，即E为AB中点，B为AD中点。需要证明线段的倍半关系。因此可以联想构造中位线、倍长中线或构造中点以构造同CD或CE相等的线段。(以上例题及解法参考空中课堂)

解法1：倍长中线法(构造2CE，证明CF=CD)

解法2：构造中点(构造1/2CD，证明CF=CE或DF=CE)

解法3：构造中位线(以CD为第三边，构造中位线)

解法3：构造中位线(以CE为中位线，构造第三边)

结论：1、当条件中有中点或中线时，倍长中线和构造中位线是常用的辅助线；

2、证明线段的倍半关系时，可以通过倍长线段或利用中位线得到较短线段的2倍，也可以通过取中点或利用中位线得到较长线段的一半。