19世纪末年的世界数学（中）：德国三位特殊的大家人物
—读《20世纪数学经纬》摘要之现代数学的开始

19世纪后期，柏林大学也是数学中心.先是狄利克雷(Gustav Peter Lcjcune Dirichlet，1805一1859)年该校工作了27年，赢得了很高的数学声誉.1854年去格丁根大学接替去世的高斯，柏林大学的数学教席，则由库默尔(Ernst Eduard Kummer，1810～1893）魏尔斯特拉斯(Karl1 hcodor Wilhelm Weierstrass，1815～1897)和克罗内克(Lcopold Kronecker，18231891)三位名家先后承担，不过对后世影响更大的则应是魏尔特拉斯.

魏尔特拉斯出生于-·个政府官员家庭。父亲叫他到波恩大学攻实法学博士学位，由于不喜欢，他未毕业就离开了，后来在一所神学哲学院读数学，通过中学牧师资格的国家考试以后，曾任中学教师达15年之久.期间他发表椭圆函数论的重要文章，被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位.1856年到柏林皇家综合工科学校任数学教授、次年到柏林大学任副教授，1864年升任正教授。1873年任柏林大学校长，成为左右德国数学界的-位领袖人物。
这种声誉，不仅因为他是校长、教授、许多论文的作者，更上要的是他的学术风格.魏尔斯特拉斯片19世纪末分析严格化进程的代表人物.反映了那个时代和20世纪整个数学严谨性的潮流，他首先给出严密的实数理论，第-·个明确地使εδ语言，引进有界集，无界集、集的内点、外点、极限点、连通性等概念，特划是运用一致收敛的概念得出极限交换的定理，这对今天的数学系大学生而言，似乎是理所当然的事.εδ语的精髓已经渗入现代数学的每一根血管，牵动着每根神经，追根溯源，魏尔斯特拉斯做出高于一切的贡献.希尔伯特认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力、为数学分析建立了坚实的基础，通过澄清极小极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等的各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难，今天，分析学能达到这样和谐、可靠和完美的程度…·本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。
魏尔斯特拉斯终身未婚，他的两个妹妹也未出嫁，她们一起照料魏尔斯特拉斯的生活，共度人生。
另一位为数学分析严密化作出重要工献，而且也是终身未娶的德国数学家是戴德金(Julius Wilhelm Richard Dede-kind，1831～1916).他以有理数的“分割”定义实数，对实数的连续性给出了严整而直观的叙述，同时，戴德金也奠定了代数数论的系统理论，不过，戴德金只是不伦瑞克大学的一名教授，在社会影响上自然不及魏尔斯特拉斯了.

除去戴德金对20世纪数学能响深远的另一位德国数学家是康托尔(GorgFerdinand Ludwig Philipp Cantor，1845～1918).他所创立的集合论成为20世纪数学的基础.集合论涉及对“无限”的理解和处理，从可数集.不可数集、超限数集等等，打开了各个的领域它的成功标志者人的思准能力的一次飞跃，另方面，每一门严密的数学学科往往都要用集合的语言开始描述。集合论的悖论导致了数学基础的论战，人类思维的极限受到了集合论想想的直桃战。

康托尔出生于俄国的彼得堡，1866年，他在拍林大学获得博学位，1869年，康托尔在哈雷大学任教。1871年前后，他在研究傅里叶级数时，注意到集合研究的重要性。

1874年，29岁的康托尔在德国普名的《克雷尔数学杂志》(Crelles Journal ffir Mnthemntik)上发表《关手一切代数实数的一个性质》的论文，首次提出超穷集合州论，引起人们的生意，1805一1897年发表《超限数理论基础》共两卷，对他以前的有关论文作了总结。


1926年，希尔伯特称赞康托尔的超限数理论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最精美的成果”，苏联的柯尔莫哥洛夫(Andrey Nikolacvich Kolmogorov，1903～1987)则说：“康托尔的不朽功绩在：敢于向无究大冒险挺进，他对似是而非的论点、流行的成见、哲学的教条等作了长期的不懈的斗争.因此，他成为学科的创造者，而这门学科已成了整个数学的基础.”

康托尔的工作虽然如此重要，他的遭遇却是不幸的.为了养家糊口，到柏林大学去找工作。因受到教授克罗内克排挤，康托尔1884年患上忧症，以后的一二十年中，他断续地在哈雷大学精神病院中度过，并在那里离开人世。