数学学习 | 高中知识点解析与讲解 -函数复习与应用

 

之前，我们系统的学习了函数的概念、表示方法、性质等知识点，也学习了三个基本函数，分别是幂函数、指数函数和对数函数，这些知识大家都掌握了吗？

为了帮助同学们更好的理解和掌握这些函数知识，今天我们就来做一个简短的复习和总结，并分析一下如何应用这些函数知识，快看下去吧！

函数知识复习

函数的概念是：

函数的三要素是定义域、对应关系和值域；

定义域和值域的表达需要用到区间，区间包括闭区间和开区间；

函数常见表示方法包括解析法、列表法和图像法；

分段函数是指，在定义域内，对于自变量的不同取值范围会有不同的对应关系的函数；

函数的基本性质包括单调性（单调递增和单调递减，以及最值的概念）、奇偶性（奇函数和偶函数）。

幂函数知识复习

幂函数是指函数形式为幂的形式的函数，其中幂的指数是一个常数，而自变量是幂的底数；

当幂函数的指数为1时，幂函数为y=x，其图像是一条斜率为一的过原点的直线，可见其定义域是（-∞，+∞），值域也是（-∞，+∞），在定义域上，该函数为单调递增，图像关于原点对称，为奇函数；

当幂函数的指数为2时，其图像是开口线上的过原点的抛物线，可见其定义域是（-∞，+∞），值域为【0，+∞），该函数在【0，+∞）为递增，在（-∞，0）为递减，图像关于y轴对称，是偶函数；

当幂函数的指数为3时，幂函数为y=x^3，可见其定义域是（-∞，+∞），值域也是（-∞，+∞），在定义域上，该函数为单调递增，图像关于原点对称，为奇函数；

当幂函数的指数为1/2时，幂函数为y=x^(1/2)，可见其定义域是【0，+∞），值域也是【0，+∞），在定义域上，该函数为单调递增，由于其图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，因此为非奇非偶函数；

当幂函数的指数为-1时，幂函数为y=x^(-1)，其图像为双曲线，可见其定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），值域也是（-∞，0）∪（0，+∞），在定义域上，该函数为单调递减，图像关于原点对称，为奇函数。

指数函数知识复习

指数幂的运算性质：

1) (a^m)(a^n)=a^(m+n);

2) (a^m)^n=a^(mn);

3) (a^m)/(a^n)=a^(m-n);

4) (ab)^n=(a^n)(b^n);

5) a^(-n)=1/(a^n), (a≠0);

6) a^0=1, (a≠0).

指数函数是指函数形式为指数形式的函数，其中指数为自变量，而底数是一个大于0且不等于1的常数；

对于（0，1）和（1，+∞）这两个范围内的底数，指数函数的图像具有关于y轴的对称性，当底数取在（0，1）中时，指数函数是一个减函数，当底数取在（1，+∞）中时，指数函数是一个增函数；

指数函数的图像只出现在x轴上方，也就是说，无论指数函数的底数为何值，指数函数的值域都是（0，+∞）；

所有指数函数都会过定点（0，1）。

对数函数知识复习

对数就是已知底数和幂的值，求指数；

常用对数是以10为底的对数，通常记为lgN；自然对数是以无理数e为底的对数，通常记为lnN；

负数和0没有对数；

loga1=0，logaa=1；

对数的运算性质：

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

1）loga(MN)=logaM+logaN；

2）loga(M/N)=logaM-logaN；

3）loga(M^n)=nlogaM.

换底公式：

对数函数是指函数形式为对数形式的函数，其中真数为自变量，而对数的底数是一个大于0且不等于1的常数；

对于（0，1）和（1，+∞）这两个范围内的底数，对数函数的图像具有关于x轴的对称性；

当底数取在（0，1）中时，对数函数是一个减函数，当底数取在（1，+∞）中时，对数函数是一个增函数；

所有对数函数都会过定点（1，0）。

函数的应用

函数与我们的日常生活有着密不可分的联系，因此，在解决日常生活中的问题时，我们可以运用不同的函数模型，并根据不同函数模型的图像和性质对问题进行分析。

另外，同学们需要了解的是，函数与方程以及不等式之间是有着很强的联系的，这一联系我们在初中就已经接触过了，例如方程的解就是函数的零点（也就是函数与x轴的交点处的x轴坐标）。

根据函数的性质，我们可以总结出函数零点存在定理：

根据函数零点存在定理，我们就可以使用二分法求得方程的近似解（函数的零点）了，而二分法是指：

今天，我们复习了函数的相关知识，并探讨了函数的应用，希望可以帮助同学们更好的进行高中数学学习哦！

同学们有任何不懂的内容可以留言提问，如果有需要的话我们会有习题类推文哦！

下一期我们将继续讨论数学学习的相关问题，同学们可以扫描下方二维码，和如意王一起学习一起进步哦！

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