钦定古今图书集成历象汇编历法典
第一百十七卷目录
算法部汇考九
算法统宗五〈衰分章第三〉
历法典第一百十七卷
算法部汇考九
《算法统宗五》衰分章第三
衰者，等也。物之混者，求其等而分之。以物之多寡，求其出税；以人户等第，求其差徭。以物价，求贵贱高低者也。
衰分歌
衰分法数不相平，须要分数一分成。将此一分为之实，以乘各数自均平。
法曰：各列置衰，排列所求等次之位，副并共若干为法。以所分物总乘未并者
〈是前列衰〉，各自为实以法除之，即得所问。
可约者，约分之不尽者，以法命之。
一法：置所分物为实，并各衰，为法除之，得一衰。以乘各衰。
合率差分
今有银一千二百两，买绫绢。议要绢一停，绫二停。其绫每匹价三两六钱，绢每匹价二两四钱。问：二色并价各若干。
答曰：绫二百五十匹价九百两，绢一百二十五匹价三百两。
法曰：置银一千二百两为实。另置绫价，以二因之得七两二钱。并入绢价二两四钱，共九两六钱。为法除之得绢一百二十五匹。倍之得绫一百五十匹。各以原价乘之，合问。
今有银一百二十一两一钱七分五釐，籴米、麦、豆。议要米一分、麦二分、豆三分。其米每斗九分二釐，麦每斗八分五釐，豆每斗三分六釐。问：三色并价各若干。答曰：米三十二石七斗五升价银三十两零一钱三分，麦六十五石五斗价银五十五两六钱七分五釐，豆九十八石二斗五升价银三十五两三钱七分。
法曰：置总银为实。另置麦价以二因之得一钱七分。又置豆价以三因之得一钱零八釐。米价九分二釐。并三价得三钱七分。为法除实得米数。二因得麦数。三因得豆数。各以原价乘之，得各价。合问。
又法：先得米数，倍之得麦数，加五即豆数。
今有鳏、寡、孤、独四贫民，共给米二十四石。其鳏者四分，寡者五分，孤者七分，独者九分。问：四民各该米若干。
答曰：鳏者给米三石八斗四升，寡者给米四石八斗，孤者给米六石七斗二升，独者给米八石六斗四升。
法曰：置米为实。另置鳏四、寡五、孤七、独九并之，共二十五。为法除实得九斗六升，为一衰之数。以各自衰因之。合问。
今有甲、乙、丙、丁四人，各出本银七两五钱。甲银八色，乙银七色，丙银六色，丁银四色，共三十两。入炉倾成一锭。合夥不成，各欲分散。问：各该若干。
答曰：甲银九两六钱，乙银八两四钱，丙银七两二钱，丁银四两八钱。
法曰：并四人各出七两五钱共三十两为法。另以四人各原银折作足色纹银。甲得六两，乙得五两二钱五分，丙得四两五钱，丁得三两。四共并得足色银一十八两七钱五分为实。以法除实得六二五色。就以此为法，以除各人折过足色银得分六二五色银数。合问。
今有张三出本银十九两六钱四分，李四出本银十二两三钱六分。共出本银三十二两。营运折了七两。问：各折若干。
答曰：张三折银四两二钱九分六釐二毫五丝，李四折银二两七钱零三釐七毫五丝。
法曰：置折银七两为实。以共本银三十二两为法除之，得二钱一分八釐七毫五丝乃是一两折数。就以此乘各人原本，合得各折数也。合问〈按此法置张本银李本银列二
位，各以七两乘之，却以三十二两为法，归除之亦得
。〉
今有三色金共二十两。内九色四两、七色七两、五色九两，欲销一处。问：成色若干。
答曰：六五成色。
法曰：置九色四两，以九因得三两六钱。七色七两以七因得四两九钱。五色九两以五因得四两五钱。并三位折赤金一十三两为实。以原金二十两为法除之。合问。
今有一人将桃二百七十五个，一人将梨二百二十个，各欲换西瓜。其瓜每个钱二十七文半，桃每个三文半，其梨每个八文。问：各换瓜若干。
答曰：桃主该换瓜三十五个，梨主该换瓜六十四个。
法曰：置桃数以价三文半乘得九百六十二文半为实。以瓜价为法除之，得桃换瓜数。另置梨数以价八文因之，得一千九百六十文为实。以瓜价为法除之得梨换瓜数。合问。
今有官米七十三石二斗，令三等人户出之。上等二十五户，每户五分。中等四十户，每户三分。下等六十户，每户一分。问：各等户米若干。
答曰：上等每户一石二斗共三十石，中等每户七斗二升共二十八石八斗，下等每户二斗四升共一十四石四斗。
法曰：置总米为实。另置上等二十五户，五因得一百二十五。中等四十户，三因得一百二十。下等六十户，得六十。以三数并之，共得三百零五。为法除之，得二斗四升，是下等一户所出之数。三因得七斗二升，是中等一户所出数。五因得一石二斗，是上等一户所出数。各以户数乘之，得各等共数。合问。
今有军二万五千二百名，共支米、麦、豆三色。只云四人支米三石，七人支豆八石，九人支麦五石。问：各该若干。
答曰：米一万八千九百石，麦一万四千石，豆二万八千八百石。
法曰：置军数列三位。一位以三因得七万五千六百，以四除得米一万八千九百石。一位以五因得一十二万六千，以九除得麦一万四千石。一位以八因得二十万零一千六百，以七除得豆二万八千八百石。合问。
今有官田一顷三十八亩。每亩科正米二斗。今要七分本色米，三分折纳细丝。每米一石折丝一斤。问：各纳若干。
答曰：米一十九石三斗二升，丝八斤四两四钱八分。
法曰：置田数，以正米二斗乘得二十七石六斗，置列二位。一位以七乘得米一十九石三斗二升。一位以三乘得八石二斗八升。以石变斤零二八，用加六得两钱之数。合问。
四六差分
法曰：各以四为首，用加五以求各衰。首位四就身加五得六，又加五得九，又加五得十三衰五分，又加五得二十衰零二分五釐。如位数多者，各加五以生。各衰仿此。
一法：以首位为四，用四归六因以求各衰
〈不如加五捷径〉。二位者
〈四 六〉，并得十。三位者
〈四 六 九〉，并得十九。四位者
〈四 六 九 一十三衰半〉，并得三十二衰五分。五位者
〈四 六 九 十三衰五 二十衰二分五釐〉，并得五十二衰七分五釐。各副并为法除实，得一衰以乘各衰。合问。
今有金四千两，令二等金户四六纳之。问：各该若干。答曰：上等户该二千四百两，下等户该一千六百两。
法曰：置总金为实。以六因得上户，以四因得下户。合问。
今有米一千五百五十八石。令甲、乙、丙三人四六纳之。问：各该若干。
答曰：甲七百三十八石，乙四百九十二石，丙三百二十八石。
法曰：置米为实。列
〈丙四 乙六 甲九〉副并共得十九衰，为法除实得八十二石为一差衰。以乘各人衰数即出纳数也。
今将前米，令甲、乙、丙、丁四等人户，作四六出纳。问：各该若干。
法曰：置米为实。列
〈丁四 丙六 乙九 甲十三衰五分〉副并共得三十二衰五分，为法除实得若干，乃为一衰之数。以四因得丁所该纳数。列一衰则以乘各人衰数，合得各人所纳数也。
又将前米令甲、乙、丙、丁、戊五等人户作四六纳之。问：各该若干。
法曰：置米为实。列
〈戊四 丁六 丙九 乙十三衰五分 甲二十衰○二分五釐〉副并得五十二衰七分五釐。为法除实得若干为一衰之数。以此为则以乘各人衰数，合得各人出纳数也。
今有米三百八十五石五斗二升，令二等人户从上四六出之。甲上等二十六户，乙下等四十户。问：各户各若干。
答曰：上等每户七石三斗二升共计一百九十石零三斗二升。下等每户四石八斗八升共计一百九十五石二斗。
法曰：置米为实。另以上等二十六户以六因得一百五十六衰。又以下等四十户以四因得一百六十衰。二共并之，得三百一十六衰。为法除实得一石二斗二升为一差衰。以六因得七石三斗二升是上等一户出数。另以一衰数，以四因得四石八斗八升是下等一户所出数。各以户数乘之，合问。
二八差分
法曰：各以二为首，用四因以求各衰。首位二以四因得八衰，又四因得三十二衰，又四因得一百二十八衰，又四因得五百一十二衰。如位数多者，各以四因以生各衰。
一法：以首为二，用二归八因以求各衰
〈不如四因捷径〉。二位者
〈二 八〉，并得十。三位者
〈二 八 三十二〉，三共并得四十二。四位者
〈二 八 三十二 一百二十八〉，四共并得一百七十。五位者
〈二 八 三十二 一百二十八 五百一十二〉，五共并得六百八十二衰。为法除实得一分衰数。以乘各衰。今有金三千两，令二等人户二八纳之。问：各该若干。答曰：上等户二千四百两，下等户六百两。
法曰：置总金列二位为实。一位以八因得上等户所纳之数，一位以二因得下等户所纳之数，
若令三等人户作二八出之。
法曰：置总金为实。列
〈丙二 乙八 甲三十二〉三共并得四十二衰，为法除实得若干为一衰之数以为法则。以二衰因得若干为丙出金之数。又以八衰因得若干为乙出金之数。又以三十二衰乘之，得若干为甲出金之数。合问。
若令四等人户二八出纳，只加上等四衰一百二十八，四共并衰一百七十。为法除实得一衰之数，以乘各衰。即得。
若五等亦只加衰，用法如前。
三七差分
法曰：各以三为首，就以三因，或又三因，再三因，务求得宜为首衰。却用三归七，因以求各衰。
二位者，首位三，次位七，并得十。三位者，首位三就以三因得九为丙衰。却以九用三归七因得二十一为乙衰。再以二十一用三归七因得四十九为甲衰。三位并得七十九衰。四位者，首位三以三因得九。又三因得二十七为丁衰。却以二十七用三归七因得六十三为丙衰。却以六十三用三归七因得一百四十七为乙衰。却以一百四十七用三归七因得三百四十三为甲衰。四并得五百八十。五位者，首位三以三因，又三因，再三因得八十一为戊衰。却以戊衰用三归七因得一百八十九为丁衰。却以丁衰用三归七因得四百四十一为丙衰。却以丙衰用三归七因得一千零二十九为乙衰。却以乙衰用三归七因得二千四百零一为甲衰。五并共得四千一百四十一。各以副并为法除实得一衰数。以乘各衰如位数。多者皆以三因。首位用三归七，因以求下位衰数。今有金三千两，令休、绩二县金行铺户，三七上纳。问：各该若干。
答曰：休宁县二千一百两，绩溪县九百两。
法曰：置金数为实。以七因即休邑纳数。以三因即绩邑纳数。合问。
今有银四百九十七两七钱。令甲、乙、丙三人三七分之。问：各该若干。
答曰：甲三百零八两七钱，乙一百三十二两三钱，
丙五十六两七钱。
法曰：置总银为实，列
〈丙九 乙二十一 甲四十九〉副并得七十九衰，为法除实得六两三钱为一衰数。以乘各衰得各人数。合问。
若令四人作三七分之。
法置总银为实，列
〈丁二十七 丙六十三 乙一百四十七 甲三百四十三〉副并得五百八十衰，为法除实得若干，为一衰之数。以乘各衰得各人数。
若令五人作三七分之。
法置总银为实。列
〈戊衰八十一 丁一百八十九 丙四百四十一 乙一千零二十九 甲二千四百零一〉副并得四千一百四十一衰，为法除实得若干为一衰之数。就以此为法，以乘各衰得数。合问。
折半差分
法曰：以所分物折半为衰。二位者
〈一 二〉，并得三。三位者
〈一 二 四〉，并得七。四位者
〈一 二 四 八〉，并得十五。五位者
〈一 二 四 八 十六〉，并得三十一。各副并为法除实
〈按此法加一倍法也。首衰倍之得次衰。又倍之得三衰。四、五同〉。今有钱五百九十四文，令甲乙二人折半分之。问：各该若干。
答曰：甲三百九十六文，乙一百九十八文。
法曰：置总钱为实。以
〈甲二乙一〉并得三衰。为法归实得一百九十八文，为乙所得数。倍之得三百九十六文，为甲所得数。合问。今有银六百七十二两，令三等人作折半分之。问：各该若干。
答曰：甲三百八十四两，乙一百九十二两，丙九十六两。
法曰：置总银为实。以
〈甲四 乙二 丙一〉并得七衰，为法除实得九十六两为丙所得数。以二因得乙数。以四因得甲数。合问。
今有女子善织，初日迟，次日加倍，第三日转速倍增，第四日又倍增。织成绢六丈七尺五寸。问：各日织若干。
答曰：初日织四尺五寸，次日织九尺，第三日织一丈八尺，第四日织三丈六尺。
法曰：置绢为实。列
〈一 二 四 八〉并得十五，为法除实得初日织四尺五寸。倍之得次日数。再倍得第三日数。又倍得第四日数。合问。
递减挨次差分
法曰：置所分物者，挨次为衰，各列置衰算之。三位者
〈一 二 三〉，并得六。四位者
〈一 二 三 四〉，并得十。五位者
〈一 二 三 四 五〉，并得十五。六位者
〈一 二 三 四 五六〉，并得二十一。各副并，为法除实。
今有绢七百二十匹，令甲、乙、丙三人依等挨次分之。问：各该若干。
答曰：甲三百六十匹，乙二百四十匹，丙一百二十匹。
法曰：置绢为实。以
〈甲三 乙二 丙一〉并得六衰，为法除实得一百二十匹为丙所得数。以二因得乙数，以三因得甲数。合问。
今有银九十二两，分散四子，依等挨次分之。问：各该若干。
答曰：长子三十六两八钱，次子二十七两六钱，三子一十八两四钱，四子九两二钱。
法曰：置总银为实
〈以长子四 次子二 三子二 四子一〉。副并得十衰。为法除实得九两二钱为四子所得数。自下而上各加九两二钱。合问。
今有金八两一钱，欲挨次造套钟五个。问：各重若干。答曰：大号二两七钱，二号二两一钱六分，三号一两六钱二分，四号一两零八分，五号五钱四分。
法曰：置金为实。以
〈五 四 三 二 一〉副并得一十五衰，为法除实得五钱四分，为五号钟重数。自下而上各加五钱四分。合问。
若造礼、乐、射、御、书、数六号杯。
法置总金数为实。以
〈六 五 四 三 二 一〉副并得二十一衰。为法除实得数字杯重若干。自下而上各加数字号杯重若干。合问。
今有粮一千一百三十四石，令五等人户挨次上纳。一等二十四户，二等三十三户，三等四十二户，四等五十一户，五等六十户。问：各若干。
答曰：一等每户十石零五斗，共计二百五十二石。二等每户八石四斗，共计二百七十七石二斗。三等每户六石三斗，共计二百六十四石六斗。四等每户四石二斗，共计二百一十四石二斗。五等每户二石一斗，共计一百二十六石。
法曰：置粮为实。第五等户不动，将四等户数以二因得若干。又将三等户数以三因得若干。再将二等户数以四因得若干。又将一等户数以五因得若干。并五等数共得五百四十衰。为法除实得二石一斗。是第五等一户所出数。以二因得四等一户所出数。以三因得二等一户所出数。以四因得三等一户所出数。以五因得一等一户所出数。各以户数乘之。合问
〈自五等起递加二石一斗至一等止〉。今有米二百四十石，令甲、乙、丙、丁、戊五人递差分之，要将甲乙二人数，与丙、丁、戊三人数同。问：各该若干。答曰：甲六十四石，乙五十六石，丙四十八石，
丁四十石，戊三十二石。
法置总米为实。列
〈甲五 乙四 丙三 丁二 戊一〉又并甲五、乙四得九。又并丙三、丁二、戊一得六，减九馀三。却以前五人衰内各增三，甲得八，乙得七，丙得六，丁得五，戊得四。副并得三十衰，为法除实得八石为一衰数。以乘各人后增衰数，得各人所得数。合问
〈戊起递加八数至甲止〉。或七人分者，要将甲、乙、丙三人数与丁、戊、己、庚四人数同者。又云三人分者，要将甲得数与乙丙二人所得数同者，俱仿前法算之。
今有金六十两，令甲、乙、丙三人，依等递差五两。问：各该若干。
答曰：甲二十五两，乙二十两，丙一十五两。
法曰：置金六十两内减差甲多丙十两、乙多丙五两、共一十五两，馀四十五两为实。以三人为法除之得丙金一十五两。加五两得二十两为乙所得。又加五两为甲所得。合问〈按凡算递差者，皆可互和折半。故不必另立互和之法，即以金六十
两用三归之，即得乙数也
。〉今有俸米三百零五石，令五等官依品递差十三石
分之。问：各该若干。
答曰：正一品八十七石，从一品七十四石，正二品六十一石，从二品四十八石，正三品三十五石。
法曰：置五等于上，又列五等减一馀四。以乘五得二十，折半得一十为实。以每等差十三石乘之，得一百三十石。以减总米三百零五石馀一百七十五石。却以五等除之，得三十五石是第五等正三品俸米。加十三石是第四等从二品俸米。又加十三石，是正二品俸米。各品递加十三。合问〈按此法置总银为实，只用五归即得正二品数。
递加则得从一品、正一品数。递减则得从二品、正三品数也
。〉
今有官米二百六十五石，令三等人户出之。上等二十户，每户多中等七斗。中等五十户，每户多下等五斗。下等一百一十户。问：每户所出及逐等各若干。答曰：上等每户二石四斗共四十八石，中等每户一石七斗共八十五石，下等每户一石二斗共一百三十二石。
法曰：置中等五十户。以每户多下等五斗因之，得二十五石。又置上等二十户，以每户多中等七斗，多下等五斗共一石二斗乘之，得二十四石。并二数共四十九石。以减总米馀二百一十六石为实。并三等户数共一百八十。为法除实得一石二斗，是下等一户所出数。加五斗得一石七斗，是中等一户所出数。又加七斗，得二石四斗是上等一户所出数。各以户数乘之。合问。
带分母子差分
今有马军七人，给裤布四十八尺。步军六人，给袄布九十二尺。今共给布一十二万五千八百二十尺。问：各该若干。
答曰：马步军各五千六百七十人，袄布八万六千九百四十尺，裤布三万八千八百八十尺。
法曰：置分母子互乘
〈七人六人〉〈四十八 九十二〉，以七人乘九十二尺得六百四十四尺。另以六人乘四十八尺得二百八十八尺。并之得九百三十二尺为法。置布一十二万五千八百二十尺，却以六人、七人相乘，得四十二而乘之，得五百二十八万四千四百四十尺为实。以法除之得军数各五千六百七十人。以四十八乘，又用七归得裤布。又以九十二乘军数，用六归得袄布。合问。
今有昆仲三人，小弟谓长兄曰：我年纪比汝四分之三，次兄年纪比汝六分之五，我多八岁。问：三人岁数各若干。
答曰：长兄九十六岁，次兄八十岁，小弟七十二岁。
法曰：置
〈六分四分〉〈之五之三〉以母四互乘子五得二十，为次兄之差。又以母六互乘子三得十八，为小弟之差。又以母四、六相乘得二十四，为长兄之差。另以二十减去十八馀二为法。先置长兄差二十四，以八岁乘之得一百九十二为实。以法二除之，得九十六为长兄之岁。另以次兄差二十，以八岁乘之，得一百六十为实。以法二除之，得八十为次兄之岁。另以小弟十八，亦以八岁乘之，得一百四十四为实。以法二除之得七十二，为小弟岁数。合问。
今有七人，差等均钱。甲乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文。问：丙、丁各若干。
答曰：甲四十文，乙三十七文，丙三十四文，丁
三十一文，戊二十八文，己二十五文，庚二十
二文。
法曰：置
〈二人三人〉〈七十七文 七十五文〉，令母互乘子，以二人乘七十五文，得一百五十。另以三人乘七十七文，得二百三十一文。以少减多馀八十一，为一差之实。并分母二人、三人得五，折半得二人半。以减总七人馀四人半，却以分母二人、三人乘得六。以乘四人半得二十七，为一差之法。馀实八十一得三文为一差数。置甲乙均七十七文加二文，共八十文。折半得四十文，为甲得数，递减三文。合问。
今有兵士三千四百七十四名，每三人支衫绢七十尺，每四人支裙绢五十尺。问：该总绢若干。
答曰：共绢一十二万四千四百八十五尺，衫绢八万一千零六十尺，裙绢四万三千四百二十五尺。法曰：置
〈三人 四人〉〈七十尺 五十尺〉，以三人互乘五十，得一百五十。以四人互乘七十，得二百八十。并之共四百三十。乘兵士得一百四十九万三千八百二十为实。又以三四相乘，得十二。为法除实得总绢数。另置兵士总以七因三归得衫绢数。以五因四归得裙绢数。合问。
互和减半差分
法曰：以
〈一 三 五 七 九〉为阳位，
〈二 四 六 八 十〉为阴位。三位者
〈三 五 七〉并得十五数。四位者
〈二 四 六 八〉并得二十数。五位者
〈一 三 五 七 九〉并得二十五数。照位并而为法除实，得首尾二人共数。于内减甲多或丙少数，馀数折半，得首尾数。加甲多或丙少数为首数。三位者互和首尾。甲丙二人所得数折半得中乙数。合问。
四位者照前得首尾甲丁二人数，其中有乙丙二人。不可折半得数，却置甲多或丁少数，依例用三归之，合问。
五位者照依前得首尾甲戊二人数。互和首尾数折半，得中丙数。又互和丙戊数折半，得丁数。又互和丙甲数折半，得乙数。如位数多者，皆以空位取之。并而为法除实，得首尾数
〈四位者用三归之。六位者用五除之〉。今有白米一百八十石，令三人从上互和减半分之，只云甲多丙米三十六石。问：各该若干。
答曰：甲七十八石，乙六十石，丙四十二石。
法曰：置米一百八十石为实。以
〈三 五 七〉并得一石五斗，为法除实得一百二十石，乃甲丙二人首尾共数。于内减甲多三十六石，馀八十四石。折半得丙四十二石，加多三十六石，得甲米七十八石。互和甲丙米，折半得乙米六十石。合问。
今有银二百四十两，令四人从上互相减半分之。只云甲多丁一十八两。问：各该若干。
答曰：甲六十九两，乙六十三两，丙五十七两，
丁五十一两。
法曰：置银为实。以
〈二 四 六 八〉并得二两，为法除实得一百二十，乃甲丁首尾二人共数。于内减甲多一十八两，馀一百零二两，折半得丁银五十一两。加多一十八得甲银六十九两。惟乙丙二人不可并折。以甲多一十八例，用三归之，得六两。加入丁银得丙银五十七两。又加六两得乙银六十三两。合问。
今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之。只云戊不及甲三十三贯六百文。问：各该钞若干。
答曰：甲六十四贯四百文，乙五十六贯，丙四十七贯六百文，丁三十九贯二百文，戊三十贯零八百文。
法曰：置钞为实。以
〈一 三 五 七 九〉并得二贯五百文。为法除之得九十五贯二百文，乃首尾二人共数。于内减戊不及甲钞，馀六十一贯六百文，折半得戊钞三十贯八百文。仍加戊不及甲钞三十三贯六百文，得甲钞六十四贯四百文。互和甲、戊钞，共九十五贯二百文，折半得丙钞四十七贯六百文。又互和丙、戊钞共七十八贯四百文，折半得丁钞三十九贯二百文。又互和甲丙钞共一百一十二贯，折半得乙钞五十六贯。合问。
今有五人均银四十两，内甲得十两四钱，戊得五两六钱。问：乙、丙、丁次第均之，各该若干。
答曰：乙九两二钱，丙八两，丁六两八钱。
法曰：并甲戊共一十六两，折半得丙银八两。又并甲丙共一十八两四钱，折半得乙银九两二钱。又并丙戊共一十三两六钱，折半得丁银六两八钱。合问。假如前三人四六分物者，可将一等与二等所得数并作一处，却分为十分。此验其一等原得数是六分。其二等原得数是四分。再将二等与三等仍前考之，其二等原得数却是六分，三等原得数却是四分也。其二八、三七俱照此考验，无差。
因指明等书，不依古法，却以十分之六误为四六。以十分之七为三七，以十分之八为二八，俱差矣。因差而考之。
今有绢四百七十丈零一尺八寸四分，令三等人户作十分之六出之。上等二十五户，中等三十户，下等四十八户。问：每户各该若干。
答曰：上等每户七丈八尺共一百九十五丈，中等每户四丈六尺八寸共一百四十丈零四尺，下等每户二丈八尺零八分共一百三十四丈七尺八寸四分。
法曰：置总绢为实。另置上等户数，以一百因之得二千五百衰。中等户数以六十因之得一千八百衰。下等户数以三十六乘之，得一千七百二十八衰。并三位共六千零二十八衰。为法除实得七丈八尺，是上等一户所出数。以六因是中等一户所出数。再以六因是下等一户所出数。各以户数乘之。合问。
今有粟一百六十八石四斗八升八合，令四等人户作十分之七出之。问：每户逐等各若干。
答曰：第一等二十二户，每户二石，共四十四石。第二等三十六户，每户一石四斗，共五十石零四斗。第三等四十二户，每户九斗八升，共四十一石一斗六升。第四等四十八户，每户六斗八升六合，共三十二石九斗二升八合。
法曰：置总粟为实。另置一等户，以一千因得二万二千。第二等户以七百因之，得二万五千二百。第三等户以四百九十乘之，得二万零五百八十。第四等户以三百四十三乘之，得一万六千四百六十四。并四位共八万四千二百四十四衰。为法除实得二石，是第一等一户所出数。以七因是二等一户数。又七因是三等一户数。又七因是四等一户数。各以户数乘之合问。十分之七即以七因，以生各等。详后解法。今有官米二百二十五石三斗六升，令五等人户作十分之八出之。问：每户逐等各若干。
答曰：第一等四户，每户二石五斗共一十石。第二等八户，每户二石共一十六石。第三等十五户，每户一石六斗共二十四石。第四等四十一户，每户一石二斗八升共五十二石四斗八升。第五等一百二十户，每户一石零二升四合共一百二十二石八斗八升。
解法曰：一等定率一万，以八因之得八千，为二等率。又八因得六千四百，为三等率。又八因得五千一百二十为四等率。又八因得四千零九十六为五等率。
前问十分之七仿此，即以七因定率。
法曰：置总米为实，另置第一等四户，以一万因之得四万。第二等八户，以八千因之，得六万四千。第三等十五户，以六千四百乘之，得九万六千。第四等四十一户，以五千一百二十乘之，得二十万零九千九百二十。第五等一百二十户，以四千零九十六乘之，得四十九万一千五百二十。并五位共九十万零一千四百四十衰。为法除实得二勺五抄，为一衰。数就以此乘一等衰一万每户，该米二石五斗。以八因得二石是第二等一户所出数。又八因得一石六斗，是三等一户数。又八因得一石二斗八升是四等一户数。又以八因得一石零二升四合，是五等一户数。各以户数乘之。合问。
匿价差分歌
匿价分身法更奇，多乘高物以为实。得价减总馀又列，共物除馀低价知。低价添多为高价，各乘各物不差池。学者能知此般算，三四物价也相宜。
今有银一万七千六百九十两，买马骡一千匹。议要马七百匹，骡三百匹，其马价多骡价七两七钱。问：各价若干。
答曰：马每匹价二十两，骡每匹价一十二两三钱。法曰：置马七百匹，以多七两七钱乘之得五千三百九十两。以减总银馀一万二千三百两。以马骡一千为法除之得骡一十二两三钱，加多七两七钱为马价。合问。
今有银二千九百二十八两，共买绫一百五十匹，罗三百匹，绢四百五十匹。只云绫匹价比罗匹价多四钱七分，罗匹价比绢匹价多一两三钱五分。问：三物匹价各若干。
答曰：绫价每匹四两三钱二分，罗价每匹三两八钱五分，绢价每匹二两五钱。
法曰：列罗三百匹，以多绢价一两三钱五分乘得四百零五两。又列绫一百五十匹，以二项多价共一两八钱二分乘得二百七十三两。并之得六百七十八两。减总银馀二千二百五十两为实。并绫罗绢共九百匹。为法除之得二两五钱，为每匹绢价。加多一两三钱五分，得罗匹价三两八钱五分。又加多四钱七分，得绫匹价四两三钱二分。合问。
今有绫七尺，罗九尺，共价适等。只云罗每尺价比绫每尺价少钱三十六文。问：各钱价若干。
答曰：绫每尺一百六十二文，罗每尺一百二十六文。
法曰：置罗九尺，以绫价三十六文乘之，得三百二十四文为实。另以绫七尺罗九尺相减馀二尺。为法除实得绫尺价一百六十二文。另置绫七尺，以三十六文乘之，得二百五十二文为实。仍将前法二尺为法除之，得罗尺价一百二十六文。合问。
今有金九块，银十一块，秤之适等。交换二块，则馀金比换银多一十三两。问：金银各重若干。
答曰：金一块重三十五两七钱五分，银一块重二十九两二钱五分，金九块银十一块各共重三百二十一两七钱五分。
法曰：列金重一十三两折半，得六两五钱。乘金九块，得五十八两五钱为实。却以金九银十一相减馀二。为法除实得银一块重二十九两二钱五分数。另置银十一块，以六两五钱乘之得七十一两五钱为实。仍以前二为法除之，得金一块重三十五两七钱五分。合问。
贵贱差分歌
差分贵贱法尤精，高价先乘共物情。却用都钱减今数，馀留为实甚分明。别将二价也相减，用此馀钱为法行。除了先为低物价，自馀高价物方成。
今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱。只云米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五釐。问：米麦各若干。答曰：米三百二十石，价银二百七十五两二钱。麦一百八十石，价银一百三十两零五钱。
法曰：置米麦五百石，以米价八钱六分乘之得四百三十两。减去共价馀二十四两三钱为实。以米价内减麦价馀一钱三分五釐。为法除之得麦一百八十石。却以米麦五百石内减麦数，馀三百二十石为米数。各以原价乘之。合问。
今有银五十五两五钱，共买铜、锡、铁八万三千零五十两。只云银价相仿，每银一钱买铜一百三十两。每银一钱买锡一百五十两。每银一钱买铁一百七十两。问：三色各若干
〈此为三色差分〉。
答曰：铜二万四千七百两，价银一十九两。锡二万七千七百五十两，价银一十八两五钱。铁三万零六百两，价银一十八两。
法曰：置总银以三归之，得一十八两五钱，约锡为中。以每银一钱买一百五十两，乘得锡二万七千七百五十两。于总物内减讫，馀五万五千三百两。另置总银内减去一十八两五钱，馀三十七两。却以铜一百三十两乘之，得四万八千一百。减去五万五千三百馀七千二百为实。另以铜铁数相减，馀四十。为法除实得铁价一十八两。又于三十七两减去一十八两，馀一十九两为铜价。各以每银一钱买数乘之，合问。今有绫、罗、纱、绢一百六十匹，共价九十三两。绫每匹价九钱，罗每匹价七钱，纱每匹价五钱，绢每匹价三钱。问：四色各若干。
答曰：绫三十五匹该银三十一两五钱，罗四十匹该银二十八两，纱四十匹该银二十两，绢四十五匹该银一十三两五钱。
法曰：此四色差分。先置一百六十匹，以四除之得四十匹，就定中物。罗纱二色及价，却于一百六十匹内减罗纱共八十匹，馀八十匹。又于共价九十三两内减去罗价二十八两、纱价二十两，馀四十五两。以贵贱差分算之，置馀八十匹。以绫价九钱乘之得七十二两。减去四十五两，馀二十七两为实。以绫价九钱减绢价三钱馀六钱。为法除之得四十五匹，为绢数。却于八十匹内减绢四十五匹，馀三十五匹为绫。各以原价乘之，合问。
凡三色、四色差分之法，俱先定中等，惟留首尾二色。以贵贱差分法算之，不拘五、六、七、八、九色者仿此。
仙人换影歌
〈又日贵贱相和〉贵贱相和换影仙，贱物互乘贵价钱。贵物互乘贱价讫，相减馀为长法然。先使总钱乘贱物，后用总物乘贱钱。二数相减馀为实，长法除之短法言。贵物贵价各乘短，物价分明皆得全。总内减贵馀为贱，不遇知音不与传。
今有钱四千九百九十五文，共买桃梨五千个。只云钱一十一文买桃九个，又钱四文买梨七个。问：桃梨各若干。
答曰：桃三千二百八十五个该钱四千零一十五文，
梨一千七百一十五个该钱九百八十文。
法曰：列置
〈九个十一文〉〈七个四文〉〈五千个四千九百九十五文〉，先以上十一互乘中七个，得七十七个。又以四文乘九个，得三十六个。以少减多馀四十一为长法。若求桃数价者，以中下互乘。置总钱以七个乘得三万四千九百六十五个。另置总果以四文乘之，得二万以减三万四千九百六十五个馀一万四千九百六十五个为实。以长法四十一除之，得三百六十五个为短法。列二位，一位以九个乘得桃三千二百八十五个，一位以十一文乘得桃价四千零一十五文。于总内减桃数，馀者即梨数价也。若求梨数价者，却置总钱以九个乘之。又置总果以十一文乘之。二数相减馀一万零零四十五为实。仍以长法四十一除之，得二百四十五为短法。列二位，一位以七个乘得梨数。一位以四文乘得梨价。合问
〈求桃者以梨价求之，求梨者以桃价求之〉。
今有牛羊一百只，共价一百六十八两。只云牛三只价银一十二两，羊四只价银一两五钱。问：牛羊并价各若干。
答曰：牛三十六只价银一百四十四两，羊六十四只价银二十四两。
法曰：列置
〈牛三十二两〉〈羊四一两五钱〉〈共一百只共一百六十八两〉，先以上牛贵价一十二两互乘贱物羊四只得四十八两。又以贵物牛三互乘贱物羊价一两五钱得四两五钱。以减四十八两，馀四十三两五钱为长法。次以中羊四互乘总价一百六十八两，得六百七十二。又置总物一百只，以贱价一两五钱乘之，得一百五十。以减六百七十二馀五百二十二为实。以长法四十三两五钱除之，得一两二钱为短法。列二位，一位以贵物牛三乘之得牛三十六只。一位以牛贵价一十二两乘之得一百四十四两。以减总银馀得羊价。合问。今有大小鱼一百斤，共价八钱七分五釐。只云大鱼二斤价四分，小鱼七斤价五分。问：大小鱼及价各若干。
答曰：大鱼一十二斤半价银二钱五分，小鱼八十七斤半价银六钱二分五釐。
法曰：列
〈大鱼二斤价银四分〉〈小鱼七斤价银五分〉〈总鱼一百斤总价八钱七分五釐〉先以上大鱼价四分互乘中小鱼七斤，得二钱八分。又以大鱼二斤互乘小鱼价五分，得一钱。以少减多馀一钱八分为长法。次以中小鱼七斤互乘下总价，得六两一钱二分五釐。又以小鱼价五分互乘总鱼一百斤，得五两。以少减多馀一两一钱二分五釐为实。以长法除之，得六分二釐五毫为短法。列二位，一位以二斤乘之，得大鱼一十二斤半。一位以四分乘之，得大鱼价二钱五分。于总鱼一百斤减去大鱼，馀得小鱼。合问。
若求小鱼者，置总价以大鱼二斤乘之，得一两七钱五分。又置总鱼一百斤，以贵价四分乘之，得四两。以少减多馀二两二钱五分。仍用前长法一钱八分除之，得一钱二分五釐为短法。列二位，一位以七斤乘之，得小鱼八十七斤半。一位以五分乘之，得小鱼价六钱二分五釐。合问。
今有圆木大小二根。内大者，一根头径一尺二寸，梢径八寸长二丈五尺。小者一根，头径一尺，梢径七寸，长二丈。共价银四十九两零八分。问：大小木各价若干。
答曰：大木三十一两二钱，小木一十七两八钱八分。
法曰：先置大木头径一尺二寸自乘，得一百四十四寸。又将梢径八寸自乘，得六十四寸。并之得二百零八寸。以长二丈五尺乘之，得积五万二千寸。又置小木头径一尺自乘，得一百寸。又将梢径七寸自乘，得四十九寸。并之得一百四十九寸。以长二丈乘之，得积二万九千八百寸。并大小积共八万一千八百寸。为法以除原价四十九两零八分，每寸派得六毫。就以此为法各乘大小积。合问。
今有石，石中有玉。外方三寸，共重一十二斤十五两。只云玉方一寸，重一十二两。石方一寸，重三两。问：玉、石各重若干。
答曰：玉一十四寸重一十斤零八两，石一十三寸重二斤七两。
法曰：置方三寸自乘得九寸。再乘得二十七寸。以玉率重一十二两乘之，得三百二十四两。减共重一十二斤十五两，即二百零七两，馀一百一十七两为贱实。以贵贱率玉十二两、石三两相减，馀九两。为法除实得石一十三寸。减共积二十七寸，馀得玉一十四寸。以玉率一十二两乘之，得一百六十八两。另以石一十三寸，以石率三两乘之，得三十九两。各以斤法通之得斤数。合问。
今有客三次出外为商，俱得合利。每次归还银三百两，三次本利恰尽。问：原本若干。
答曰：二百六十二两五钱。
法曰：置银三百两折半得一百五十。又加三百得四百五十。又折半得二百二十五两。又加三百得五百二十五两。又折半得原本二百六十二两五钱。合问。
物不知总
〈又云韩信点兵也〉孙子歌曰：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。七子团圆正半月，除百零五便得知。
今有物不知数，只云三数剩二个，五数剩三个，七数剩二个。问：共若干。
答曰：共二十三个。
法曰：列
〈三 五 七〉维乘，以三乘五得一十五。又以七乘之得一百零五，为满法数列位。另以三乘五得一十五，为七数剩一之衰。又以三乘七得二十一，为五数剩一之衰。又以五乘七得三十五，倍作七十。以三除之馀一，故用七十为三数剩一之衰。其三数剩二者，剩一下七十，剩二下一百四十也。五数剩三者，剩一下二十一，剩二下四十二，剩三下六十三也。七数剩二者，剩一下十五，剩二下三十也。并之得二百三十三。内减去满数一百零五，又减一百零五，馀二十三个。合问。
今有客至，不知其数。只云三人共饭，四人共羹，通共用碗二百零一只。问：客并羹饭碗各若干。
答曰：客五百一十六人，羹一百二十九碗，饭一百七十二碗。
法曰：置碗三百零一只，以三人因之得九百零三为实。并三人、四人共七人。为法除之得羹碗一百二十九只。又以四因之得客五百一十六人。以三除之得饭碗。合问。
今有客不知数，只云二人共饭，三人共羹，四人共肉，通共用碗六十五只。问：客若干。
答曰：客六十人。法曰：置
〈二人 四人 三人〉维乘，以二乘三得六。以三乘四得一十二。又四乘二得八。并之得二十六为法。另以二乘三得六。却以四乘之得二十四。以乘碗六十五得一千五百六十为实。以法二十六除之得客。合问
〈维乘者，四处顺倒相乘也〉。
右二条先用合分，后用互换也。
