我们都在教科书里面看到任意凸 n 边形内角和等于(n -2)180°。还知道了它的证明。我们还知道任意凸 n 边形外角和等于360° ,也了解了他的证明。如果不是凸 n 边形，那么“ n 边形内角和”是多少度呢？ “ n 边形外角和”又是多少度呢？这里需要弄明白三件事，第一，多边形的概念，第二，内角的概念，第三，内角和的度数。这样一来，问题就有点复杂了。首先，什么是多边形？查阅数学手册，封闭折线叫做多边形。多边形又叫多角形。组成封闭折线的各条线段叫做多边形的边，每两条相邻线段的公共端点叫做多边形的顶点。两条相邻线段的夹角叫做多边形的角。仔细阅读，发现这里“多边形的角”似乎并没有说清楚。这样一来，多边形的形状就会出现各种千奇百怪的样子来。有一些是凸的，我们已经做了研究。其余叫做凹的。
可是凹多边形比较复杂。一种情况是凹而不叠的多边形。我们能够认定它的内角，从而也可以求得它的内角和公式不变。不过需要说明一下，内角的范围已经扩大到可以超过平角的范围了。证明的方法是将多边形分割成 n-2 个三角形即可。总共有 n 个顶点，所以总共有 n 个 360 度， 而 n 个 360 度里面有 2n 个内角，和 2n 个外角，这样内角占掉 n-2 个 180 度，外角占掉 2 个 180度。另一种就是折叠式多边形。在这种情况下，我们甚至觉得判断哪个角是内角都有困难。先探究一下内角的概念。
比如，我们规定连接着平面上有限空间的角称为内角。 可是，同侧的角里面有的内有限空间，有的在无限空间。看来这个定义不科学。看来，内角的概念已经没有意义了。“内角”、“外角”的概念也发生了颠覆了，尤其要想到的是，在凸多边形中， 一组内角、外角之和是180°，而到了折叠式的多边形里面，我们一不小心已经把一组内角、外角之和扩大到360°了。没有了内、 外角的概念， 那么，我们只能定义一个多边形的同侧的角和两侧的角来取代。因此就可以研究同侧的角之和的规律。现在需要深呼吸一口气， 我们为此遭遇的困难不少：两侧的角之和并不是原来意义上的内角外角之和，而是原来的内角、外角之和的两倍。现在我们先把原来学习的凸 n 边形的内角和、外角和定理做一个变形。内角和定理没有变化，还是 (n-2)180°， 原来的外角和定理，现在可以变为 (n-2)180°。同侧角之和里面可能混入一些大于平角的角，而这些角其实里面含有三个角之和。那么是不是一定要在同侧之和里面减去那些含有两个对顶角中的一个角呢？还是有些复杂。不管图形有多复杂， n 边形的 n 个顶点的角之和一定等于360°n。所以折叠式多边形的两侧角之和等于360°n。这时，我们还可以把折叠式多边形分成可拆解叠多边形和不能拆解叠多边形两种。比如， 以下图 1，就是不可拆解图，同侧角之和等于 4×180°。图 2，也是不可拆解图，同侧角之和等于 7×180°，一般地，不可拆解的折叠式 n 边形的同侧角之和等于180°n。再比如，以下图 3， 就可以拆解成一个凹不叠多边形图 4，那么内角和是180(n-2)° 。
最后，对于任何不可拆解多边形，只要减去一个三角形便可拆。问题还没有解决。 这里面的规律到底是什么呢？经猜想， 折叠多边形内部交叉点个数为奇数时，图形不可拆解，这时同侧角之和为180°n； 内部交叉点个数为偶数时，图形可拆解，这时同侧内角之和为180°(n-2) 。比如下面一些图： 其中前面两个图，内部交叉点为 3 个和 5个，不可拆解；后两个图，内部交叉点为 4 个和 8 个，都可拆解。事情想到这里，心情比较愉快，似乎问题的规律被解开了。可是，下面一个图，让我们突然发现，这样的折叠式五边形，内角和只有180°，不满足我们前面获得的规律。再有下面的图，折叠式八边形，内角和只有 360°。又有自己的一套规律，这是怎么一回事呢？问题比较复杂，大家如果有兴趣可以做一些探究，说出一些规律。
老师们一直要求学生计算、证明、记忆。合情推理的方法被大家重视了吗？估算的能力被重视培养了吗？虽然有时也会允许学生“猜想”一下，可是真的猜还是假的猜？猜想和估算都是很重要的数学能力。我们有实验几何，可是没有发挥实验几何自身的价值，而是把实验几何当成是论证几何的准备阶段，所以我们迟迟没有做出“数学实验室”来。其实我们也不是太了解“数学实验”怎么做，做一些什么实验。用尺测量再算出圆周率算不算数学实验？用剪刀剪剪看看三角形内角和，意义到底在哪里？有专家已经在研究，借助电脑程序，尝试探究数学实验。我们的数学教学，如果借助实验，会出现怎样的景象？值得期待，值得尝试。比如，由学生用观察法找到一元二次方程的一个根，我们怎样评价他？ 一般是批评的。比如，学生发现了一道复杂几何题的辅助线，我们怎样评价他？ 一般是表扬的。经常地，教师对学生的评价是不太公正的，往往会忽略方法价值，而更加看重解决问题的实用价值。
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