6.整式的除法
同底数幂相除的法则★★★ 同底数幂相除,底数不变,指数相减.即
am÷an=am-n
(m、n是正整数,且m>n,a≠0).
★要点提示★
1.只有底数相同,才能运用此法则;
2.底数a可以是数字、字母,也可以是单项式或多项式;
3.当相除两个幂底数不同时,应想法将其化为同底数再相除,如
(-a)2= a2,(-a)5=-a5;
4.条件m>n是为了保证m-n为正整数,因为目前只学了正整数指数幂;条件a≠0是保证除式有意义.
零指数幂 任何不等于零的数的零次幂为1,即
a0=1(a≠0).
★要点提示★
1.因为当除数与被除数相等时,商是1,而当m=n时,有
am÷an=am-n=a0,
所以规定a0=1(注意这是规定,不是证明).条件a≠0很重要,不可忽视.如(π-3.14)0=1,若(x-1)0=1,则x≠1.
2.若a=0,a0无意义.
3.有了零指数幂,我们就将正整数指数幂扩展到自然数指数幂;在初中阶段,还将学习负整数指数幂,将指数幂扩展到整数指数幂;学习分数指数幂,将指数幂扩展到有理数指数幂.这样指数幂的扩展过程是
正整数指数幂→自然数指数幂→整数指数幂→有理数指数幂→…
单项式除以单项式法则★★★
两个单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
★要点提示★
1.两个单项式相除可分为三个步骤:
(1)把系数相除,所得的结果作为商的系数;
(2)把同底数幂分别相除,以所得的结果作为商的因式;
(3)只在被除数里含有的字母,连同其指数作为商的因式.
在现阶段,仅研究整除的情况,即要求在除式中出现的字母,在被除式中不仅要出现,而且其指数要不小于除式中同一字母的指数.
2.单项式除以单项式实质上是单项式乘法的逆运算,即已知两个单项式的积和其中一个单项式,求另一个单项式.因此,可以用单项式乘法来检验单项式除以单项式的结果是否正确.
3.利用整体思想,也可以用此法则进行某些多项式的除法.如(2a+b)3÷(2a+b)=(2a+b)3-1=(2a+b)2=4a2+4ab+b2.
多项式除以单项式法则★★★
多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.
★要点提示★
1.商的项数=被除式的项数,商的次数=被除式的次数-单项式的次数.
2.当单项式的符号为正时,商的各项的符号与多项式的各项符号相同;当单项式的符号为负时,商的各项的符号与多项式的各项符号相反.
3.此法则也可以用于某些多项式除以多项式,如
[(a+b)2-(a+b)]÷(a+b)
=(a+b)2÷(a+b)-(a+b)÷(a+b)
=(a+b)-1
=a+b-1.
4.多项式除以单项式是多项式乘以单项式的逆运算.
5.多项式除以单项式,其基本方法是化归为单项式除以单项式.又由于(am+bm+cm)÷m=(am+bm+cm)1/m.
故多项式除以单项式也可以看成是乘法对加法分配律的应用.
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