1.函数的概念

三、知识要点

1.函数概念

变量★ 在问题研究过程中，可能取不同数值的量叫做变量（variable）；

常量★ 在问题研究过程中，保持数值不变的量叫做常量（constant）（或常数）.

要点解析

1.一般来说，变量用字母表示，常量用具体的数表示，但也有例外，如圆的周长公式：c=2πr，周长c和半径r是变量，2和圆周率π是常量，有些特定的量（常量）也用特定的字母表示（如π）；

2.量一般用数表示它的大小，因此要注意单位的统一,必要时要注明；

3.变量和常量是相对的，在不同研究过程中会相互转化.

函数★ 在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数（function），x叫做自变量（independent variable）.

要点解析

在中学数学学习过程中，“函数”概念会不断深化，上海“二期”初中教材采用了“依赖说”较之“一期”初中教材的“对应说”降低了起点，更浅显和通俗，理解这一概念要注意如下三点：

1.函数不是数，是指一个变化过程中两个变量的依赖关系，两个变量可用x、y来表示，也可以用其他字母来表示；

2.自变量x是有取值范围的，这个取值范围要根据具体问题确定，如圆的周长是圆的半径的函数，而半径只能大于零；

3.变量y是依赖变量x的变化而变化，而且这种“依赖关系”是确定的，所以变量y也叫因变量.

附“一期”教材“对应说”：在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某个允许取值范围内的每一个确定的值，按照某一个对于法则，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数

（见“九年义务教育课本《数学》八年级第一学期”P50页，上海教育出版社，1996年版）

函数解析式★ 表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式或函数关系式.

定义域★ 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域（domain）.

要点解析

1.自变量取值的范围是指使函数有意义的自变量取值的全体.当一个函数以解析式表示时，如果对函数定义域未加说明，其定义域由解析式确定，当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；当解析式是偶次根式时，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的全体实数，解析式为奇次根式时，自变量可取全体实数;

2.当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义;

3.自变量的取值范围有无限的，也有有限的，还有是单独一个（或几个）数的.如

，其自变量的取值范围是x=4.

函数值★ 如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值（value of a function）.

要点解析

对于函数y=f(x),y=f(a)表示当x=a时的函数值.

值域 函数的自变量取遍定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域.