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张江数学期中考试反思(1)怎样在一组相似三角形基础上构造新的相似三角形
在这次我校(民办张江集团学校)初三期中考试中有两道关于几何证明题的综合题(第22题和第23题),引发了我的一些思考。
首先请大家看这样一个问题,
在Rt△ADC中,∠ADC=90°,DE⊥AC,
这就是大家所熟悉的“射影型”,也有人称之为“子母三角形”,在这个图形中,有两对垂直、三组等角、三个直角三角形连环相似,其中一组等角:∠ADE=∠ACD,
一组相似三角形:△ADE∽△DEC,
进一步得到比例式:AD:DE=DC:EC
取DE中点F,联结AF,如果要在原有相似(△ADE∽△DEC)的基础上构造一个三角形与△ADF相似,该如何操作呢?
(1)由于DE对应边是EC,取EC中点G,联结DG,自然有了△ADF∽△DGC
(2)除了可以“跟风”缩短EC外,还有什么方法能构造与△AFD相似的三角形呢?
还可以延长CD至点B,使得CB=2CD,联结BE,由AD:DE=DC:EC得到AD:0.5DE=2DC:EC,配上∠ADE=∠ACD也可以得到一组相似即:△ADF∽△BEC。

不仅如此,由于DE=2DF,且tan∠C=DE/EC,所以这组新的相似三角形的相似比就是tan∠C/2,也就是说AF:BE= tan∠C/2,一组边之比与某个角的三角比发生了联系。

考虑到AD垂直平分BC的“事实”,所以联结AB,就构成了等腰三角形,既然是等腰三角形,就可以隐去AD,于是一个全新的数学问题产生了。
如图,在△ABC中,AB=AC,取BC的中点D,过点D做DE⊥AC于E,取DE的中点F,联结AF、BE,问AF/BE与∠C的关系。
然后可能觉得这道题比较难,于是前面再引导学生从特殊到一般先探索一下,但又觉得问∠C太直接,于是改问“AF/BE与∠BAC的关系”,于是我校期中考试第23题诞生了:
这就是我揣测的命题人编题时的心路历程。那如果当初不是取DE中点而是三等分点,然后延长CD至原来的三倍长是不是也会有相似?如果原本不是“射影型”而是“共边共角型”也是如是构造是不是也会产生同样的一组相似三角形?我想答案是肯定的,我想在这些问题的基础上编撰试题,同样也能命出非常精彩的数学问题。
我校初三期中考试第22题的第一问:
22、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC⊥CD,AB=9,AC=12,CD=16,点E是边BC上一个动点,EF⊥AE,EF交CD于点F,联结AF
(1)求证:△AEF ∽△ACD;(2)……
由此想到,其实第一问和△ADC的边长无关,其“外部图形”就是一组相似直角三角形,中间有一个符合某“等角”关系的三角形在图形内部运动,但问题是这组等角必须是∠AEF=∠ACD吗?
问题:如图,已知在Rt△ABC中,∠ACD=90°,且AC<DC,CD∥AB,且∠D=∠ACB(易证:△ABC∽△ACD),若点E在边CB上,点F在射线DC上

(1)若∠FAE=∠DAC,

求证:△AEF∽△ACD

(2)若∠AFE=∠ACB,

求证:△AEF∽△ACD

(3)若∠AEF=∠ACD,

求证:△AEF∽△ACD

分析(1)由∠FAE=∠DAC可得∠DAF=∠CAE,易证:△ADF∽△ACE,得:AD:AC=AF:AE,配上∠FAE=∠DAC,由此可证△AEF∽△ACD

分析(2)由∠AFE=∠ACB配上∠AGF=∠CGE,易证:△AGF∽△CGE,得:AG:GE=GF:CG,配上∠FGC=∠AGE可证△FCG∽△AGE,得:∠AEF=∠ACD=90°,再根据两组对应角相等的三角形相似。不算△ACD∽△ABC,前后撵转三次相似可得,确实对同学提出很大的挑战。

有没有更加简洁的方法呢?有!由∠AFE=∠ACB可得点A、F、C、B四点共圆,由同弧所对圆周角相等得∠AEF=∠ACD,从而得证,可惜学生至今尚未学习圆。

分析(3)即试题中的问题1,其实和(2)基本相同,在此就不在累述。


在此我无意去评论试题的难易,但可以发现在一组相似三角形的基础上,或配置“角等”的条件,或配置“边的关系”的条件都可能产生新的相似三角形,这就是很好的探究学习的素材,如果我们能善加利用,就会产生良好教学效果。


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