不仅如此,由于DE=2DF,且tan∠C=DE/EC,所以这组新的相似三角形的相似比就是tan∠C/2,也就是说AF:BE= tan∠C/2,一组边之比与某个角的三角比发生了联系。
(1)若∠FAE=∠DAC,
求证:△AEF∽△ACD
(2)若∠AFE=∠ACB,
求证:△AEF∽△ACD
(3)若∠AEF=∠ACD,
求证:△AEF∽△ACD
分析(2)由∠AFE=∠ACB配上∠AGF=∠CGE,易证:△AGF∽△CGE,得:AG:GE=GF:CG,配上∠FGC=∠AGE可证△FCG∽△AGE,得:∠AEF=∠ACD=90°,再根据两组对应角相等的三角形相似。不算△ACD∽△ABC,前后撵转三次相似可得,确实对同学提出很大的挑战。
有没有更加简洁的方法呢?有!由∠AFE=∠ACB可得点A、F、C、B四点共圆,由同弧所对圆周角相等得∠AEF=∠ACD,从而得证,可惜学生至今尚未学习圆。
分析(3)即试题中的问题1,其实和(2)基本相同,在此就不在累述。
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