草根解析|用比例思想处理部分行程问题

行程问题一般围绕着三个量进行，即：路程、速度与时间，其关系式是：路程=速度×时间，对于两次不同的“行程”而言，当其中一个量相等时，其他两个量之间存在着“正比”或“反比”的关系，这往往是解决较复杂的行程问题的一把钥匙

例1

汽车在南北方向的公路上行驶。由南到北顶风而行，每小时50千米；由北到南顺风而行，每小时70千米。两辆汽车同时从同一地点相背而行，一辆汽车向北驶去然后返回，另一辆汽车向南驶去然后返回，结果4小时后两车同时回到了出发点。如果调头时间不计，在这4小时中，两车行驶方向相同的时间有几小时？

分析

① 条件中的“同时出发、同时返回”其实是在暗示两车行驶的路程相同，进而可知顺风行驶的路程与逆风行驶的路程相同

② 路程相同时，速度与时间成反比，即：V顺：V逆=T逆：T顺=7：5，总共用时4小时，则T逆=(7/3)hr，T顺=(5/3)hr

③ 分析试题中的三个阶段

（设起初甲车顺风、乙车逆风）

第一阶段【0-(5/3)hr】甲车、乙车反向，甲车先到终点

第二阶段【(5/3)hr-(7/3)hr】甲车反向后与乙车同向，直至乙车到达终点

第三阶段【(7/3)hr-4hr】甲车、乙车反向回到出发点

所以同向的时间是：(7/3)-(5/3)=(2/3)hr

例2

A、B、C三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、乙、丙分别从A、B、C同时出发，甲、乙向东，丙向西；乙、丙在距离B地18千米处相遇，甲、丙在B地相遇，而当甲在C地追上乙的时候，丙已经走过B地32千米。求：AC间的路程

分析

① 起始状态：

② 乙、丙在距离B地18千米处相遇

在这个阶段乙、丙的运动过程之中，速度相同，路程比等于速度比，即V乙:V丙=18:S

③ 而当甲在C地追上乙的时候，丙已经走过B地32千米（这句很有迷惑性，此刻不要管“甲”，而要“死死“盯住”乙“、”丙“）

从阶段②到阶段③，乙、丙用时依旧相同，则V乙：V丙=S：50，于是可知18：S=S：50，S=30

再用类似的方法”盯住“甲、丙

【1】甲、丙在B地相遇

V甲：V丙=AB：BC=AB：48

【2】而当甲在C地追上乙的时候，丙已经走过B地32千米

V甲：V丙=48:32

则AB：48=48:32，AB=72

AC=72+48=120

总结：“复杂”行程问题有两个特点，其一有多次不同的行程，其二不知从何入手。而我们就要破除“迷雾”见真谛，无论有多少次“行程”，每次就研究两次“行程”；每次研究都从等量入手，即这两次“行程”是速度等还是路程等或是时间等，此时另两个量之间的关系也就浮出水面了。

草根想来从复杂的关系中遴选出关键信息，从“等量”或“相同量”入手分析不就是研究数学的精髓之一吗？

思考题

甲、乙分别从A，B同时相向而行。第一次相遇在距B处80米，继续按原速向前走，到B、A处再立即返回，第二次相遇在距A处30米。照此走法，求第三次相遇在距A处几米的地方？

注：几天后平台公示答案与解答