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草根解析|用比例思想处理部分行程问题
我心飞扬695
>《待分类》
2015.11.20
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行程问题一般围绕着三个量进行,即:路程、速度与时间,其关系式是:路程=速度×时间,对于两次不同的“行程”而言,当其中一个量相等时,其他两个量之间存在着“正比”或“反比”的关系,这往往是解决较复杂的行程问题的一把钥匙
例1
汽车在南北方向的公路上行驶。由南到北顶风而行,每小时50千米;由北到南顺风而行,每小时70千米。两辆汽车同时从同一地点相背而行,一辆汽车向北驶去然后返回,另一辆汽车向南驶去然后返回,结果4小时后两车同时回到了出发点。如果调头时间不计,在这4小时中,两车行驶方向相同的时间有几小时?
分析
① 条件中的“同时出发、同时返回”其实是在暗示两车行驶的路程相同,进而可知顺风行驶的路程与逆风行驶的路程相同
② 路程相同时,速度与时间成反比,即:V顺:V逆=T逆:T顺=7:5,总共用时4小时,则T逆=(7/3)hr,T顺=(5/3)hr
③ 分析试题中的三个阶段
(设起初甲车顺风、乙车逆风)
第一阶段【0-(5/3)hr】甲车、乙车反向,甲车先到终点
第二阶段【(5/3)hr-(7/3)hr】甲车反向后与乙车同向,直至乙车到达终点
第三阶段【(7/3)hr-4hr】甲车、乙车反向回到出发点
所以同向的时间是:(7/3)-(5/3)=(2/3)hr
例2
A、B、C三地依次分布在由西向东的同一条道路上,甲、乙、丙分别从A、B、C同时出发,甲、乙向东,丙向西;乙、丙在距离B地18千米处相遇,甲、丙在B地相遇,而当甲在C地追上乙的时候,丙已经走过B地32千米。求:AC间的路程
分析
① 起始状态:
② 乙、丙在距离B地18千米处相遇
在这个阶段乙、丙的运动过程之中,速度相同,路程比等于速度比,即V乙:V丙=18:S
③ 而当甲在C地追上乙的时候,丙已经走过B地32千米(这句很有迷惑性,此刻不要管“甲”,而要“死死“盯住”乙“、”丙“)
从阶段②到阶段③,乙、丙用时依旧相同,则V乙:V丙=S:50,于是可知18:S=S:50,S=30
再用类似的方法”盯住“甲、丙
【1】甲、丙在B地相遇
V甲:V丙=AB:BC=AB:48
【2】而当甲在C地追上乙的时候,丙已经走过B地32千米
V甲:V丙=48:32
则AB:48=48:32,AB=72
AC=72+48=120
总结:“复杂”行程问题有两个特点,其一有多次不同的行程,其二不知从何入手。而我们就要破除“迷雾”见真谛,无论有多少次“行程”,每次就研究两次“行程”;每次研究都从等量入手,即这两次“行程”是速度等还是路程等或是时间等,此时另两个量之间的关系也就浮出水面了。
草根想来从复杂的关系中遴选出关键信息,从“等量”或“相同量”入手分析不就是研究数学的精髓之一吗?
思考题
甲、乙分别从A,B同时相向而行。第一次相遇在距B处80米,继续按原速向前走,到B、A处再立即返回,第二次相遇在距A处30米。照此走法,求第三次相遇在距A处几米的地方?
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