集体研究|2015年上海大同杯压轴题剖析

本题是2015年上海大同杯数学竞赛第11题，本文中的解法由上海民办张江集团学校王麟老师与民办复旦兰生中学朱斌老师提供，由草根黄喆整理、反思、撰文

本题可拆分为两个问题：

① 研究a、b、c三边关系

② 求出a、b、c三边长度

探究

a、b、c三边关系

解法1

1

双向延长GI，构造等腰三角形

考虑到：CI平分∠ACB，CI⊥GI，双向延长GI构造等腰三角形也在情理之中

2

重心到一边的距离等于该边上高的1/3

可见GH1=1/3AH,GH2=1/3AH'

3

利用△DEC的面积为桥梁沟通变量

利用△DEC的面积为桥梁，可知2r=GH1+GH2

4

利用△ABC的面积为桥梁沟通三边

解法2

1

一用“梅内劳斯”

2

两用角平分线定理

3

二用“梅内劳斯”

求解

a、b、c三边长

推广

本题无需条件'a+b+c=35'，仅(a,b)=2亦可求解