草根反思|当一线三等角退化为一线两等角(做16徐汇一模压轴有感)
在初中数学界有一些耳闻能详的基本型,比如:射影型(子母相似三角形)、共边共角型、一线三等角型等等,我们今天就来谈谈其中一个最重要的基本型之一:一线三等角型,之前我专门撰文总结过它,(请查询:草根梳理|“一线三等角”模型及其变式总结),而研究了今年徐汇一模压轴题后对此我又有了不同的感想……∠ADE的顶点D在∠B的一边所在直线上,由此可以得到:∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,所以可以将“一线三等角”解题过程概括为:“一线两等角”就笔者看,这其中“一线两等角”→“新的等角”是关键,如果将得到“新的等角”后配上的不在同一直线的“另一组等角”条件,那相似还会有吗?已知:∠AEB=∠ABC=∠ACB,由一线二等角,易知∠FAB=∠CBP,配上∠ABF=∠BCP(分别是∠ABC、∠ACB的补角),则△AFB∽△BCP
此外图形中还有相似:△FEB∽△BCP,△FEB∽△FAB,△AEP∽△AFC
已知:∠AEP=∠ABC=∠ACB,由一线二等角,易知∠FAB=∠CBP,配上∠ABC=∠C,则△AFB∽△BCP
此外图形中还有相似:△FEB∽△BCP,△FEB∽△FAB,△AEP∽△AFC
“实例1”、“实例2”其实是一个运动过程中的片段,具体请看视频当一线三等角退化为一线两等角,失去了已总结出的“一线三等角”的诸多性质,换来的是更加广阔的思考空间和对于图形本质的把握,“大道至简”大概就是这个道理吧。进一步,我们可以发现如果学生对于某一基本图形的诸多性质掌握纯熟时,也许他对于该基本图形的本质属性却已经淡忘了,于是如果命题人将试题中“熟悉基本图形”变化为“不熟悉的图形”时,很多人常对此缺乏应变能力,这也就我认为今年徐汇一模数学压轴题考地如此“惨烈”的原因吧
(本题的几何原型就是“实例2”)
点击下方“阅读原文”,看姚健老师对于今年徐汇一模数学压轴题的精彩解析
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