草根反思|当一线三等角退化为一线两等角（做16徐汇一模压轴有感）

在初中数学界有一些耳闻能详的基本型，比如：射影型（子母相似三角形）、共边共角型、一线三等角型等等，我们今天就来谈谈其中一个最重要的基本型之一：一线三等角型，之前我专门撰文总结过它，（请查询：草根梳理|“一线三等角”模型及其变式总结），而研究了今年徐汇一模压轴题后对此我又有了不同的感想……

重新解构一线三等角

如图，若∠ADE=∠B，

∠ADE的顶点D在∠B的一边所在直线上，由此可以得到：∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，

即∠EDC=∠BAD

我把它称之为一线两等角。

正因为有了∠EDC=∠BAD，

再配上∠B=∠C即可到△ABD∽△EDC

所以可以将“一线三等角”解题过程概括为：“一线两等角”

→“新的等角”+“已知另一组等角”

→相似

就笔者看，这其中“一线两等角”→“新的等角”是关键，如果将得到“新的等角”后配上的不在同一直线的“另一组等角”条件，那相似还会有吗？

实例1

已知：∠AEB=∠ABC=∠ACB，由一线二等角，易知∠FAB=∠CBP，配上∠ABF=∠BCP（分别是∠ABC、∠ACB的补角），则△AFB∽△BCP

此外图形中还有相似：△FEB∽△BCP，△FEB∽△FAB，△AEP∽△AFC

实例2

已知：∠AEP=∠ABC=∠ACB，由一线二等角，易知∠FAB=∠CBP，配上∠ABC=∠C，则△AFB∽△BCP

此外图形中还有相似：△FEB∽△BCP，△FEB∽△FAB，△AEP∽△AFC

“实例1”、“实例2”其实是一个运动过程中的片段，具体请看视频

当一线三等角退化为一线两等角，失去了已总结出的“一线三等角”的诸多性质，换来的是更加广阔的思考空间和对于图形本质的把握，“大道至简”大概就是这个道理吧。

进一步，我们可以发现如果学生对于某一基本图形的诸多性质掌握纯熟时，也许他对于该基本图形的本质属性却已经淡忘了，于是如果命题人将试题中“熟悉基本图形”变化为“不熟悉的图形”时，很多人常对此缺乏应变能力，这也就我认为今年徐汇一模数学压轴题考地如此“惨烈”的原因吧

（本题的几何原型就是“实例2”）

点击下方“阅读原文”，看姚健老师对于今年徐汇一模数学压轴题的精彩解析

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