读波利亚之《怎样解题》

（2014年）

前言

带一卷书，走十里路，选一个清净地，看天，听鸟，倦了时，和身在草绵绵处寻梦去。——徐志摩

【文摘1】在教师的指导下，应给学生尽可能多的独立学习和思考的经验。一是要让学生尽可能独立完成”跳一跳“可以完成的工作；而是要在学生却有困难的情况下，教师给予学生”不着痕迹地“帮助！

【苏迅笔记】放手让学生去尝试，但不脱离老师的视线；教师在学生确有困难时，设置一问题引导学生的思维。

【文摘2】“值得收集那些在与学生讨论题目时通常有帮助的问题和提示，并加以归类”，这有助于我们掌握“对解题通常有用的思维活动”（可将这些思维活动按照它们最可能发生的次序排列）。

【苏迅笔记】（1）这些问题的提出应当是有助于不着痕迹地引导学生思维，帮助学生感受到独立解决问题的快乐！（2）在不断地训练中，让这些问题的提出成为学生解题思维的组成部分。

【文摘3】 解题首先要搞清楚三个问题：未知量是什么？条件是什么？已知数据是什么？解决问题就是在它们之间架桥，全部连通了，问题就解决了。

【文摘4】理解题目，就要去观察题中的未知量，并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。

【苏迅笔记】这样做一是有利于用以前解决过的问题的思维帮助理解题目；二是可以进行对比发现相似未知量题目之间的差异，理解“近义词”之间的细微差别。

【文摘5】反复问：未知量是什么？条件是什么？已知数据是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？如果这一思维方式不断地对学生有所帮助，那么他很难不注意到这一点，这将引导他在相似的情况下自己提出问题，并将这一思维模式内化。

【文摘6】想要提高学生解题能力的教师，必须逐渐地培养学生思维里对题目的兴趣，并且给他们足够的机会去模仿和实践。

【苏迅笔记】（1）如何培养学生对题目的兴趣？就是不断地问“未知量是什么？条件是什么？已知数据是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？”，通过问这些问题让学生能够独立的读懂题目，理解题目，解决问题，获得解题成功的喜悦，从而培养出解题兴趣。（2）教师要善于解题示范，解题过程中对解题思路稍加渲染，并向自己提出那些帮助学生理解题目的一些问题（即：充分暴露教师的解题思维）。——这比教会学生解决一道具体的题目重要得多。

【文摘7】一般解题有四个步骤:理解题目（审题）、思考解题思路、解题和检验。

【苏迅笔记】（1）审题要读懂题目的未知量、已知量等相关条件，如果能画出图形的话，要尽可能画出图形，并引入相关适当的符号，将未知量和已知数据标注在图表中。（2）观察未知量，尽量想出一道自己熟悉的具有相同或相似未知量的题目，结合题目中“已知数据等条件是否全部用到”思考解题思路。（在审题和思考思路环节还要思考部分数据（条件）是否都有用?是否是干扰条件?）（3）解题思路有了，解题就显得相对简单了，但要保证每一个解题步骤的正确性，则必须要养成进行每一步解题时，心中都能准确给出这样解题的依据（即所用的公里、定理或以前解过题目的结论等，当然也可以是新证明的结论）。（4）题目解完以后一定不能忘记检验。一是要能不能检验（验证）这个结果，并回顾过程中用到的知识、方法和途径；二是要问有没有其它的方法得到这个结果，如果有，最简单的方法是什么?三是要问这个结果或得到这个结果的方法有没有应用价值（或推广），能不能帮助我们解决其它问题?

【文摘8】在完成一些得到结论性问题的解题结果后，要善于问学生（也是问自己）:你能在别的题目中利用这个结果或者这种解题方法吗？

【苏迅笔记】在解决问题1——已知长方体的长、宽、高分别三为a、b、c,求该长方体的对角线长度后，可以提出问题2——已知长方体的长、宽、高，求该长方体的中心到一个顶点的距离，当然这里的长方体可以是教室等具体物品。可以继续提出问题3——在一已知长和宽的广场中心竖一已知高度的旗杆。我们需要用四根等长的绳子固定旗杆，绳子的一端系在旗杆顶部，另一端系在广场的四个角。求每一根绳的长度。提问应当从基本的问题开始，必要的时候，逐步深入到更具体、更特殊的问题，直至在学生思维中引出“有反应”的问题。

【文摘9】教师在帮助学生解题时常常需要设置一些问题或给出一些建议。好的问题（建议）至少要满足下面两个特点：一是启发性。要能够通过教师的问题或建议让学生自己获到解决问题的思路。二是一般性。要能为学生解决这一类问题或更多的问题提供参考。

【文摘10】解题的一般步骤：熟悉题目——深入理解题目——寻求思路——解题——回顾检查反思。

【苏迅笔记】（1）熟悉题目步骤主要任务是将题目目标、条件等记住、分类并构成图网。如果读题有困难，可以采取提取句子主干的方式，保留句子主谓宾成分，其他部分暂时不看，以免干扰。（2）审题应当建立在充分的知识储备的基础上，充分运用联想、分类、类比、转化和分步解决等方式方法。（3）解题过程一要做到每一步理由（依据）充足，二要做到书写规范完整。（4）题目求解结束后，要做好检查正误、反思解法和推广引申等工作。

【文摘11】类比是一种十分常用且有效的数学探究方法，它能在发现解答的活动中起到一定的作用。在尝试解一道题时，我们常常需要寻找到一些更为简单的类比题目，有时候需要既利用其方法，又利用其结论。

【苏迅笔记】数学中有很多类比问题，如：长方体的体对角线——类比——长方形对角线；找一个均匀四面体的重心——类比——找一个均匀三角形的重心。把复杂问题简单化，从简单问题的解答过程中寻找解决复杂问题的灵感。

【文摘12】相似的物体在某些方面彼此一致；类似的物体在相应部分的特定关系上一致。

【苏迅笔记】譬如一个长方形和一个长方体具有类似性。事实上，长方形各边之间的关系同长方体各面之间的关系类似——长方形的每一条边只与另外一条边平行，而垂直于其它边；长方体的每一个面只与另外一个面平行，而垂直于与其它面。——将长方形中的“边”和长方体中的“面”称为“边界元素”，那么它们就可以用这样的共同具有的特定关系表示出来了——每一个边界元素只与另外一个边界元素平行，而垂直于其它边界元素。

【文摘13】数学解题过程中，常常需要引入一些辅助元素（辅助线、符号、题目等），以期将所探寻的结论与已掌握的定义、定理和题目等建立联系，从而实现得出结论的目的。

【文摘14】培养学生的解题能力要从三个层次入手：第一层次，要督促学生在大脑中建立完善的知识体系；第二层次，要帮助学生学会验证推理解题各步骤的正确性；第三层次，要启发学生探究各个不同解题步骤的动机和目标。

【文摘15】解题后进行验证有助于加强对解答的信任，有助于巩固知识。验证的方法主要有基于现实（实际）情况的检验（不能违背客观现实）和基于图形（实际）之间关系的检验（如棱台的上底面积为零时即为棱锥）等。验证时，至少改变一下解题步骤的次序或组合，尽可能用其他方法求解验证。

盐渎苏迅

因为认真，所以优秀

美好，

孕育于昨日的耕耘，

结晶于今天的奋斗，

面向明天的梦想。