已知函数

a

=(cos2x，-1)，

b

=(1，cos(2x-

π

3

))，设f(x)=

a

·

b

+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）设x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，求实数k的取值范围．

答案

（1）由题意可得f（x）=

a

·

b

+1=cos2x-cos（2x-

π

3

）+1
=cos2x-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=1-sin（2x-

π

6

），所以其最小正周期为π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
故函数的单调递减区间为：（kπ-

π

6

，kπ+

π

3

），k∈Z，
（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-

π

6

）
因为x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，
即方程sin（2x-

π

6

）=1+

k

2

在区间（0，π）上恰有两根，
∴-1＜1+

k

2

＜1且1+

k

2

≠-

1

2

，
解得-4＜k＜0，且k≠-3

考点名称：函数的零点与方程根的联系

• 函数零点的定义：

  一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               
  
  

• 函数零点具有的性质：

  对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
  (1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
  (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

• 方程的根与函数的零点的联系：

  方程f（x）=0有实根

  

  函数y=f（x）的图像与x轴有交点

  

  函数y=f（x）有零点