七年级数学下，寒假预习，三角形内外角代数应用，求角的度数

七年级数学下，寒假预习，三角形内外角代数应用。在遇到连比的代数式时，可以设未知数，然后利用多边形内角和公式列式计算。

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01类型一：判断三角形的形状

例题1：若一个三角形三个内角度数的比为3：4：11，判断这个三角形的形状

分析：设这个三角形三个内角度数依次为3x°，4x°，11x°，依据内角和定理求出x的值，从而得到三角形三个内角度数，从而得出答案。

解：设这个三角形三个内角度数依次为3x°，4x°，11x°，

则3x+4x+11x=180，

解得：x=10，

∴这个三角形三个内角度数依次为30°，40°，110°，则这个三角形是钝角三角形

例题2：一个三角形的三个外角之比为3：4：5，判断这个三角形的形状

分析：设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x，根据三角形的外角和等于360°列出方程，解方程得到答案。

解：设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x，

则3x+4x+5x=360°，

解得，x=30°，

3x=90°，4x=120°，5x=150°，

相应的内角分别为90°，60°，30°，则这个三角形是直角三角形

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02类型二：求角的度数

例题3：如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，求此三角形最小内角的度数

分析：先根据已知三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，互为邻补角的两个角和为180°，从而求出这个外角与它相邻的内角的度数为144°、36°．又知这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，所以可以得到这两个与它不相邻的内角分别为：72°、72°，则这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°。

解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，

∴可设这一内角为x，则它的外角为4x，

∴有x+4x=180°，则x=36°，4x=144°．

又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，

∴这两个与它不相邻的内角分别为：72°、72°，

∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°，

∴此三角形最小内角的度数是36°

03类型三：阅读理解型

例题4：定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那求这个“特征角”α的度数

分析：设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α且α=2∠1．由题意得α=48°或∠1=48°或∠2=48°，故需分这3种情况讨论。

解：设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α且α=2∠1．

当α=48°，则∠1=24°．

当∠1=48°，则α=2∠1=96°．

当∠2=48°，则∠1+α=180°-∠2=132°．

∴3∠1=132°．

∴∠1=44°．

∴α=2∠1=88°．

综上：“特征角”α可能为48°或96°或88°。

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例题5：在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，求这个三角形最小的内角度数

分析：根据2倍角三角形、3倍角三角形的定义，这道题分两种情况去讨论解决

解：①设最小内角度数为x°，2倍角为2x°，3倍角为3x°，

∴x+2x+3x=180，∴x=30；

②设最小内角度数为x°，2倍角为2x°，3倍角为6x°，

∴x+2x+6x=180，∴x=20．

③设最小内角度数为x°，3倍角为3x°，2倍角为6x°，

∴x+3x+6x=180，∴x=18．

④设最小内角度数为2x°，其余两个角为3x°和6x°，

∴2x+3x+6x=180，∴x=180/11，∴2x=360/11．

本题考查了n倍角三角形的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论思想和方程思想解决问题。