抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。
【分析】
题目给出了抛物线方程，可直接求出点A、B、C的坐标为(-4/3,0)、(3,0)、(0,4)
问题（1）根据题意，点M在直线BC的上方。（后续注意根据此限制验证点M的范围）
设点M坐标为(m,-m² + 5m/3 + 4)
点B、C都是定点，可先求出其直线方程: y=-4x/3 + 4
这里有两种方法求解：
采用竖直切割法，
过点M做MN⊥x轴交BC为点T，点T坐标为(m,-4m/3+4)
所以 MT= -m² +3m
△MBC的面积就转化为：S△MBC = S△MBT+S△MCT
其中，S△MBT+S△MCT 这俩三角形是共底边MT，且底边MT上的高之和就等于OB的长度。
所以 S△MBC = MT*OB/2
= -3(m²-3m)/2
= -3(m-3/2)²/2 + 27/8
显然，当m=3/2时，△MBC可取最大面积=27/8，
此时点M坐标为(3/2,17/4)
平行线法
在△MBC中，BC边是定值，只要找出抛物线上的点与BC之间距离的最大值，那△MBC的面积就是最大值，而此时抛物线上的点就是所求的点。
所以，只要找出与BC平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点，即为所求。
设这条切线的方程为: y=-4x/3 + b （与直线BC平行，所以斜率k相等)
将其与抛物线方程联立，可得：
-x² + 5x/3 + 4 =-4x/3 + b
直线与抛物线相切时，只有一个交点，故一元二次方程判别式△=0
用根公式可直接写出方程的解x = 3/2
此时点M坐标为(3/2,17/4)
问题（2）
先求出AC的直线方程: y=3x+4
设点P坐标为(m,-m² + 5m/3 + 4)
已知AC是直角边，
所以点P的位置又分为两种情况
1. PC⊥AC且过点C
可以直接写出PC的方程: y=-x/3 +b (两直线垂直，斜率的乘积等于-1；过C点，截距是点C的纵坐标）
将点P坐标代入这个方程，可求得m= 2，m=0(此时就是点C坐标，舍去)
2. PA⊥AC且过点A
设PA的方程: y=-x/3 +b (两直线垂直，斜率的乘积等于-1）
显然点A也是直线PA上的点，将点A坐标代入，可求得b=-4/9
所以直线PA的方程 y=-x/3 - 4/9
将点P坐标代入，可求得
m=10/3 或者是m=-4/3(点A横坐标，舍掉)
综合上述两种情况，符合题意的点P横坐标为2或10/3
问题（3）
已知∠ABQ=2∠ACO，如上图，我们做点A关于点O的对称点E，则由对称性可知，∠ACE=2∠ACO，
△ACE∽△ABF，（∠QBA=∠ACE，∠BAC是公共角)
所以△ABF也是等腰三角形，AB=BF，
第二问中，已求出AC的直线方程: y=3x+4，点B坐标为(3,0)
设点F坐标为(m,3m+4)
根据两点间距离公式可得 √[(m-3)²+（3m+4)²] = 3+4/3
可解得m=-7/15 m=-4/3(此时为点A的横坐标,舍掉)
此时点F的坐标为(-7/15,13/5),
故直线BF的方程: y=-3x/4 + 9/4
与抛物线方程联立，可求得交点坐标 Q(-7/12,43/16), B(3,0)
另一种情形：
∠ABQ的一条边AB在x轴上，既然是x轴上方存在∠ABQ=2∠ACO，根据对称性，在x轴下方也必然存在一点F',使得∠ABF'=2∠ACO
点F'与点F关于x轴对称，故点F坐标为(-7/15,-13/5)
直线BQ'的方程： y=3x/4 -9/4
与抛物线方程联立，可求得交点坐标 Q'(-25/12, -61/16), B(3,0)
综合上述两种情况，抛物线上存在两点Q(-7/12,43/16)、 Q'(-25/12, -61/16)使得∠ABQ=2∠ACO
【小结】
直角坐标系中，常采用水平分割或竖直分割法计算不规则图形的面积。
对于存在性问题，往往要多种情形综合考虑，否则容易漏解。
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