Neuber法则：如何有效利用塑性变形及提高塑性支撑系数

为了更大程度的利用承受静载荷的部件，那么就需要更精确地计算塑性变形（例如采用FKM规范进行计算），而Neuber规则与塑性变形又有什么关系呢？本文会为你一一揭晓。

在本文中，你将学习到：

• Neuber规则是什么以及如何应用

• 如何不需要复杂的塑性FEM计算即可确定塑性应变

• 通过计算塑性支撑系数npl和塑性缺口系数Kp来增加强度储备

• 用FEM方法计算Kp时需要注意什么

• 对强度提高的潜力有多大

1 基础知识

特别是在部件有缺口的情况下，最大应力通常集中在缺口处。如果缺口应力超过屈服点，材料就会局部塑化。因此，不会出现部件的整体变形或失效。见图一。

部件的高应力（塑性变形）区域由仍承受弹性应力的区域支撑。因此，为了进行强度验证，可以允许最高应力区域出现塑性应变，这就是为什么它也被称为支持效应。

图二显示了假设线弹性理想塑性材料的FEM计算结果，设置了FEM结果的显示比例，以便从屈服点开始的所有应力指定为红色。该图的左侧部分显示了载荷（F)与变形的关系曲线。当载荷Lelastic为弹性时，在最高点处刚好达到屈服点（右侧下图），大部分横截面仅看到弹性变形。如果载荷进一步增加F>Lelastic,越来越大的区域会发生塑性变形，当达到完全塑性的力F=Lplatic时，整个截面都会发生塑性变形（右侧上图）。

在力—位移图中（下图左图），你可以看到全局组件行为对于力F仍然是线性的，仅当力大于L时，完全塑性部件才会发生全局塑性变形，则该负载称为负载能力。

因此，若考虑部件的塑性变形时，则应避免部件受两种失效机制的影响：

• 防止过度塑性应变（应变准则）

• 抵抗大变形（负载能力）

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2 日常生活中的类比

如果上述解释还没有很好理解，那么我们用生活中的示例来进行类比。如果要在金属板上钻孔，通常会先进行预冲孔（用硬质工具在金属板上打上一个凹坑，以防止钻头跑掉）；而如果你想在玻璃上钻孔，则无需预打孔，因为这会立即导致玻璃破裂。


由此我们可以得出什么结论呢？

在这两种情况下，预冲孔都会在冲头尖端产生非常高的应力，冲头的尖头非常小，即使使用很小的力也会产生非常高的应力，其远高于屈服点。根据经典强度理论，两种材料都必须破裂。而实践给出了不同的画面，其原因是金属板是延展性材料（柔软，易变性），而玻璃是脆性材料。

对于延展性材料，材料会塑化，其高应力通过塑性变形从而重新分布。而对于脆性材料，则没有这种塑化的选择。

最后我们可以得出如下结论：延展性材料可以轻松承受一定限度的塑性变形，机械工程中的塑性支撑系数npl会考虑这些潜在的势能，并根据Neuber规则进行计算。然后，必须保证组件不会整体变形到无法保证其功能的程度，该保证是由全塑性形状系数Kp进行的。

因此对于强度计算，必须始终考虑两个因素：塑性支撑系数npl（变形准则/应变准则），和全塑性形状系数Kp（负载能力）。

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3.Neuber法则

为了在部件设计中允许塑性应变，必须对其进行计算。FEM通常用于此目的，并使用真实的应力-应变图作为材料定律。

借助Neuber法则，线弹性应力可以相应地转换为弹塑性应力，即无需FEM。这在计算时间上带来了很大的优势。

Neuber法则以下的形式仅限于整个横截面未塑化的部件，因此仅允许缺口部位应力塑性，如果想计算整个横截面塑化的部件，那就必须使用扩展的Neuber法则。

    3.1 Neuber法则的定义

    Nbuber法则的定义是应力和应变的乘积始终恒定：应力×应变=常数

    所有满足该函数的点都位于双曲线上，由上式变换所得：应力=常数÷应变

    这就是为什么这个函数也被称为Neuber双曲线，从图三中，Neuber曲线意味着双曲线下方的面积对于每个点都是相同的。



这意味着使用纯线弹性材料的应力应变的乘积等于使用弹塑性材料的应力和应变的乘积：线弹性应力×线弹性应变=弹塑性应力×弹塑性应变

    3.2 Neuber法则的应用

    Neuber法则带来了什么？如何运用在日常生活中？因为上面的等式单独没有直接应用，这是因为它包含两个所需的未知数，它们是弹塑性应力和弹塑性应变。只有在真实的应力—应变曲线上才能解决问题。

在静态强度计算中，通常假设线弹性理想塑性材料，并且把此材料绘制成胡克直线和Neuber双曲线，就会出现如下图



当以图形方式求解Neuber法则时，Nebuer双曲线与应力—应变曲线的交点提供了弹塑性应力σplastisch和弹塑性应变εplastisch，其数学推理过程如下：

线弹性应力×线弹性应变=弹塑性应力×弹塑性应变

σelastic · εelastic = σplastic · εplastic

而在线弹性理想塑性材料定律的情况下，应力适用：

σplastic=Re

此外，σelastic与εelastic也满足胡克定律，因此

εelastic=σelastic / E

综合上面的式子可知：

（σelastic）^2/E=Re·εplastic

通过上面的转换，我们得到了两个变量的等式，那么我们就能计算下面两种情况。

1. 对于给定的应力，可以使用线弹性FEM计算σelastic来确定弹塑性应变εplastic，即是εplastic=（σelastic）^2/(E· Re）

2. 对于给定的弹塑性应变，相应应力可以通过线弹性FEM计算σelastic确定，从而确定基础载荷，既是：σelastic=（Re·εplastic·E)^0.5

而上面的第二种情况特别有意思，如果你现在已知材料可以承受的应变为塑性应变(εplastisch = εert)，则可以通过线弹性计算获得该部件可承受的应力。

3.3 Neuber法则背后思想

    为了更好的理解Nebuer法则，我们需要了解一些其背后的一些知识。我们稍微将Neuber法则做出一点变化。

将弹性应变和弹性应力替换为其本来的定义（伸长量/ 原始长度，力/ 截面积）

εelastisch = ΔL/L0，σelastisch = F/A

那么我们就会得到如下的等式：

F/A · ΔL/L0 = 常数

(F · ΔL) / (A · L0) = 常数

而A · L0 =面积 ·长度=体积；F · ΔL=力 ·长度变化=功

则有：功/ 体积=常数

这意味着，无论假设是线弹性还是弹塑性材料，在这两种情况下都需要相同的单位体积功（能量）来使部件在假设载荷下变形。

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4.塑性支撑系数npl（应变准则）


塑性支撑系数npl描述了部件通过由塑性膨胀来利用承载储备的能力，这就意味着允许部件中的应力高于屈服点！这可以通过将应力重新分配到应力较小的区域来实现。现代工程中 有很多计算塑性支撑系数npl的方法，而笔者主要介绍FKM规范计算npl。

4.1 塑性支撑系数npl的计算

FKM规范中，需要两个标准用来计算塑性支撑系数：

然后根据两个因素中较小的一个进行设计。下图示意性的显示了该过程，塑性支撑系数按照下式计算 npl = MIN([E · εert  / Re]^0.5; Kp).

1. 应变准则：必须防止组件能够承受的总伸长率εert （[E · εert / Re]^0.5）

2. 负载能力：全塑性形状系数Kp必须保证整个部件横截面不发生塑性变形（Kp=L全塑性载荷/ L弹性极限载荷）





为了计算伸长率标准，除了弹性模量和屈服强度外，还需要提供容许伸长率，FKM提供了一些材料的容许伸长率的典型值：



FKM还可以用于计算负载能力，FKM为全塑性系数Kp提供了一些保守的值



4.2 塑性支撑系数的推导

我们的目标是以线弹性方式计算部件中的应力。其优点是非常简单，快速，并且也可以使用FEM或解析法完成，同时，弹塑性FEM也可以轻松验证。

我们将上面的Nebuer法则转换为如下方程：

σelastisch = (Re · εplastisch · E)^0.5 = Re · (εplastisch · E / Re)^0.5

如果现在允许应变为(εert)，那么其中也包含有塑性应变，则其对应的应力会大于屈服点。而通过线弹性FEM计算的σelastic会出现偏离真实应力（因为发生塑性膨胀，应力值会相应降低）。

如果设置εplastisch = εert，那么则有σelastisch =Re · (εert · E / Re)^0.5,根据该方程，高于屈服点(εert · E / Re)^0.5 倍的线弹性应力σelastisch巧好导致容许应变εert。该方程清楚地表明，如果允许塑性应变，线弹性计算中的应力可能远高于屈服点，而高出的倍数则是塑性支撑系数npl。

结论：伸长率准则是在线性理想塑性材料为假设条件下，依据Nebuer法则精确推导出来的。

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5.结论


伸长率准则（[E · εert  / Re]^0.5）会增加屈服强度，因此，当线弹性计算部件中的应力时，如果采用线性理想弹塑性材料时，则可以计算出容许伸长率εert。

如果部件具有足够的延展性，并且组件中出现不均匀的应力分布时，则采用伸长率准则会带来材料巨大的深挖潜力。但是这也并不是意味着可以不考虑部件的缺口，因为若不考虑缺口带来的负面影响，那这种深挖潜力会被缺口所消耗。

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6.示例

以下是利用塑性支撑所产生潜力的三个示例，三个示例都表明，通过允许塑性膨胀，可以允许显著更高的负载，最高能提高近70%！

1. 调质钢C60

   Re = 370 MPa

   E = 210 000 MPa

   A = 10 %

   Kp = 1,7(假设：弯曲载荷下圆形横截面，见上表）

   εert = 5 %（见上表）

   

   结论：根据拉伸标准，允许承受5.3倍负载；而根据负载能力，允许承受1.7倍载荷，因此最后仅允许承受1.7倍的负载。为了能够承受更高的负载，必须使用FEM更精确地计算塑性形状系数Kp。

2. 铝合金AlMgSi T6

   Re = 160 MPa

   E = 70 000 MPa

   A = 12%

   Kp = 1,0（假设：拉伸载荷下的圆形横截面，横截面均匀应力时Kp=1，见FKM）

   εert = 5 %(见上表）

   

   结论：根据拉伸标准，允许承受4.7倍载荷；而根据负载能力，允许承受1.0倍载荷，因此不能承受更改的载荷。为了能够承受更高的负载，必须使用FEM更精确地计算塑性形状系数Kp。

3. 铸铁材料EN-JM 1170

   Re = 390 MPa

   E = 180 000 MPa

   A = 3 %

   Kp = 1,7（假设：弯曲载荷下圆形横截面，见上表）

   εert = 2 %（见上表）



结论：根据拉伸标准，允许承受3.0倍载荷；而根据负载能力，允许承受1.7倍载荷，因此仅能承受1.7倍负载。为了能够承受更高的负载，必须使用FEM更精确地计算塑性形状系数Kp。