魔术里的集合、映射和关系（八）——硬核之作《双人扑克感应》中的数学

在前面的作品中，我们聊完基本的数学知识以后，已经用4篇的篇幅讲了两个用集合语言来描述的性质所构造的魔术了，从结构上看他们几乎是等同的，而在艺术表现形式上，又各有美感。相关内容欢迎回顾：

今天要分享的魔术，我们从集合转到函数，用到的是映射关系中极为特殊的一种关系——一一映射。

先看表演

视频1 双人扑克感应

（这位观众一人分饰两角了，最后20s声音有点问题，内容是魔术师说出了所有牌的点数和花色！）

数学解析

本系列第3篇文章中也已经提到，在众多关系中，有最特殊的一种是一一映射，因为其不仅是映射，而且还“既单且满”，这样其不仅是个可以从原象空间找到在象空间的唯一元素的映射，而且倒过来也成立。而一般的函数关系中，是函数往往是显然的。比如我知道我在在自动售货机上扔一个硬币，按特定的按钮，就会出来特定的饮料，一般不会出来别的，因为这是个函数，是天然的单向映射。又比如，两个整数相加，一定只有一种结果，加法是个二元函数关系。

但是，他们是否是一一映射呢，换句话说，是否可逆呢？

如果一个售货机购买每个商品有多种方式，比如点列表中的图案，搜索商品名字，价格筛选等等都可以购买同一个商品的话，那这从商品到操作路径的关系显然就不在是映射了，故不可逆；

同理，对于一个加法运算的结果而言，有多重拆分的方式，就像把一大筐枣子分成两筐的分法那么多种。

到这里，这个可逆性看样子是无法直接存在了，但是还是很诱人，你想，我要是能够仅凭一个和的结果就能推断出两个加数的值，这么神奇的事情还怕设计不成魔术么？

所以数学人抓紧啊，魔术师等着用呢！要怎样的限定，才能使得一个加法运算居然是可逆的？

估计你做梦也想不到，竟然是斐波那契数列的项做加数的时候吧！

斐波那契数列

又叫兔子数列，其通项公式为：

an = a(n – 1) + a(n – 2)

对它相信大家已经比较熟悉了，我讲几个重要的知识点：

其来源可看作模拟的是每个月都会生出兔子且1个月才能成熟的理想兔子窝里的兔子数量变化的规律，是个漂亮的递推关系式；
在程序求解中，可以直接用循环结构求得，如果用递归，最好先化归为(a(n+1),an)的求解问题再求解，不然会有几乎一倍的重复压栈出栈操作，也会花费一倍的重复计算算力，化归以后则是一个标准的线性递归了，如果编译器有优化，效率可接近甚至等于循环了；
可以根据特征根法求解器通项公式，求出来竟然会带出来奇怪的根号，没错，就是这样，但是在计算机里表达不了无理数，就存在先小数近似再恢复成整数的过程，中间可能因为计算精度的问题产生误差，故这并不是一个计算机求解方案的上策。

一般首两项可以取任意值，按照兔子生兔子的说法，根据开始兔子是否是刚出生的还是成熟兔子，可以有1，1和1，2两种1起始状态。比如：

1，1，2，3，5，8，13，21，34……

于是问题就变为，如果加数限定在有序地从斐波那契数列上取二个，那么加法运算是不是可逆的，也就是，能否给定和，返回唯一的两个加数组合，或者返回不存在？

然而只要点到这里了，证明却是异常简单的，数学之美，美在昙花一现的灵感。

这里其实只要证明，对于任意的{i, j}索引集，取得的(ai + aj)的值都是唯一而互不相等的，即：

an是斐波那契数列，对任意i1, i2, i3, i4的索引，ai1 <= ai2, ai3 <= ai4，(i1, i2) != (i3,i4)都有：

ai1 + ai2 != ai3 + ai4

证明：

用反证法，假设ai1 + ai2 = ai3 + ai4

即ai1 – ai3 = ai4 - ai2

不妨设ai1 <= ai3, 那么ai2 >= ai4

以上不妨设内容都不失一般性，综合后可得：

ai1 <= ai3 <= ai4 <= ai2

由斐波那契数列的单调性，得：

i1 <= i3 <= i4 <= i2

1. 如果i4 = i2，ai4 = ai2，则ai1 = ai3，由斐波那契数列本身的可逆性，那么i1 = i3，与(i1, i2) != (i3, i4)的条件矛盾，反证法得证；

2. 若i4 < i2，

2.1. 如果i3 = i4，

2.1.1. 如果i3 = i4 = i2 – 1，那么i1 = i2 – 3时原假设成立；

2.1.2. 如果i3 = i4 <= i2 – 2，那么ai2 + ai1 > ai2 = a(i2 – 1) + a(i2 - 2) > ai3 + ai4，原假设不成立，反正法得证；

2.2. 如果i3 < i4，那么ai2+ ai1 > ai2 = a(i2 – 1) + a(i2 - 2) >= ai3 + ai4，原假设不成立，反证法得证。

估计大家也看到了，这里在分类讨论到2.1.1的时候出现了正例，无法完成证明。其实啊，是我写命题的时候一开始放得太宽了，真正成立的命题应该是：

an是斐波那契数列，对任意i1, i2, i3, i4的索引，ai1 < ai2, ai3 < ai4，(i1, i2) != (i3,i4)都有：

ai1 + ai2 != ai3 + ai4

本质是说明索引集不同（由集合的性质），按理来说是应该把上面的内容删掉重新用简明的方法来证明的，也就只有1和2.2两种情况了，其他的讨论也都不再存在了。

但是我没删，一方面不舍得，另一方面，这正体现了对一个数学问题分析的过程。数学定理，结论的得来，从来都不是一蹴而就就能够得到最终结论以及完成证明的，你在教科书上看到的优雅的结论和证明，在成文之前不知道经过了多少次来回的修改和打磨，才成了那个样子的经典。

然而出版的时候，以逻辑体系为名，其实怕你偷学他的思路，都给删掉了，部分线索还只能去习题里找找，尽量还原。

经典虽好，可是学习者更宝贵的材料和体验是那个打磨思考的过程的参考。所以这里我正好把它留下来，分享一下一个结论真正得到的过程，也算是知其然而知其所以然了。

还有一个原因，这里所涉及到的分类讨论思想真的感觉非常漂亮，当一个问题不好下手的时候就按照一定角度分类进行。这个思想在高中数学里就被反复提到（一共四个：分类讨论，化归，函数方程，数形结合，有机会我们进一步讨论），这样处理，虽然问题数量变多了，工作量看似增加了，但是每一个小问题都变得简单而可以解决了，这种代价是值得也是必须的。

是数学的智慧，数学的胜利，也是人类思维的精华之一。

而计算机中的条件控制，分治，递归，化归等等，都有分类讨论思想的影子，只不过是用代码的形式作了另一种呈现。

数学部分到此结束，下一讲我们进入魔术分析，同学们也可以先想一想，在这个流程里，斐波那契这个求和可逆的性质是怎样用在这个魔术里，又不着痕迹的呢？

尽请期待！


我们是谁：

本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。