聊一聊数学中的基本定理（二）——算术基本定理的价值
上一讲我们给出并证明了算术基本定理，相关内容请戳：看懂上面的证明并不难，但是要学会怎么去证明一个类似的问题，这个思路才是数学的精华和值得我们用举一反三的思维方式来思考的。今天我们就来看一下这个证明过程中的思维学习价值以及算术基本定理这个结论本身的意义。
每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的乘积，而且这些因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。
证明中我们采用反证法的假设并层层推演，最终推出了所有不符合题设的假设都自相矛盾的结论，证明完毕，看起来一气呵成。但鬼知道我在写下最后这句“证毕”，要写多少实际情况不正确，但是逻辑链条完全无误的推理在草稿纸上！其实这里的推导思路上，并不全是漫无目的的，是一直是有一个要去找到矛盾的基本目标方向的。别看证明过程写在书上是一气呵成，其实这里一步步地推导其实基本思想就是把大的结论不断缩窄了的，如果方向正确了，那就可能可以得到矛盾和证明；如果错误了，也要能够大胆跳出来，寻找新的思路。这些思维方式在日常生活中用的话，就会给人刻板，不变通，甚至奇怪的印象，表现出来一副读死书的书呆子的气质。哈哈，我以前就是把这种严谨逻辑链条应用在每一件日常生活中的事情上的人，以至于轻松地就忘记了逻辑的起点和我到底的目标要干什么。长大以后虽然不会这么做了，但是还是觉得那时候的自己才是真的可爱，也是这刨根问底的方式积累起了自己批判性思维的底子和习惯。而且我在近年做数学魔术课程的时候，也看到了很多这样逻辑严密的可爱的孩子，十分欣慰。其实跳出来看一下，这种纯数学证明的思维真的挺奇怪和非人性的，明明显然的东西却要证明一下，明明挺难算的一个玩意，却只要存在在那，知道性质，随便用个x就代表着来用了也完全放心。可这就是数学的艺术啊，你想艺术是干什么的？不就是干这种吃饱了撑的的事情的？以上的证明，是一个比较独立，没有用到太多其他引理作为基础的证明。其实，早在算术基本定理被提出以前，欧几里得就有过本质上相当的结论。即在一般整环上看，与算术基本定理等价的命题是：若质数p | ab，则不是p | a ，就是p | b（这个定理也可以扩展到乘积项数为n的一般情况。）。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。可见哪怕强如欧几里得，那也是要受到时代车轮的局限的。现在这个结论被称为欧几里得引理，需要用到贝祖定理证明，再加上贝祖定理，就可以证明现在的代数基本定理了。由于这块另外涉及大块的数论知识，我们在费马小定理相关内容中再予以详细阐述，这里不再赘述。数学家的思维就是这样的，一旦完成证明了，我们就可以像计算机科学家一样封装掉它们（数学和计算机难得在这一点上形成统一），并且以之为更高的基石去挑战更高难度的结论。这一思维也应用在生活的方方面面，比如已经理解十进制数下乘法的规则和意义了，那下次再做的时候用上口诀表或计算器的结论也就直接相信它是真的了；程序员们看起来就像一群喂饱了就能生产app的家伙们，资本家们自然觉得不必再去学什么写代码了，花上足够的钱，一定能砸出一个产品来。那算术基本定理这么个看似显然的结论，到底有什么直观上的意义呢？我觉得并不在于它作为多少后续定理的引理，又证明了多少复杂的结论，而是在于，它从另一个角度，全新解构和表示了我们的正整数。也即，所有大于1的数，和其对应的质因数分解结果，也就是那个质数到幂次的映射的一一对应（能这么一一对应恰因为算术基本定理说的存在性和唯一性的保障）。那么质因数分解的映射是不是也可以看作是大于1正整数的一种特殊编码了？是的，我们用阿拉伯数字符号和十进制位值制计算方法是一种对客观的自然数的编码方法，它因为历史传统和方便扩展性沿用至今，我们直接画树棍数个数来表示自然数也是一种表征，这是自然数被发现之初最基本的形态，可以很好体现大小，前后等等关系。而我们用唯一的质因数分解，刚好也是自然数的一种表示方法，但看起来这实在是太冷门而没有直接的意义了。那只是看起来没有而已，实际上还是可以找到数学模型的。比如每个自然数对应的其实就是一个和其质因数分解对应的高维度的立方体，因子总个数是维度，每个维度的变长按照从小到达依序排列，显然不管你怎么旋转去与不同维度的坐标轴靠拢，都是同一个立方体，是对称不变的，自然也对应同一个整数，而这个整数也是这个唯一对应的质数边长立方体的体积。这时候连1都能有新的定义了，那就是组成立方体的所有维度的单位方块的体积。甚至可以看作有某个无穷的和质数数量相同维度的立方体，每个维度的长度是其幂次数量，而幂次为0的部分直接坍缩掉的结果。不过吧，所谓高维立方体现实中反正也没有，还是太抽象（我总是想从经世致用的角度来思考数学最接地气的应用），但是这个结论在数论大厦中的应用那可是随处可见，咱们也千万别被切近的日常生活蒙蔽了双眼。这些直观化的理解，数学以外的学科也做，都起到启发思维，发现灵感和方向的作用，只不过数学这里，一定是要有严格推理下，才会安全地去想这些感性的东西，并且经过了证明，才好意思把这些思想总结发布出来，否则顶多算是猜想和假说罢了。
最后补充一下，其实有了这个让你放心的结论以后，有一些很显然的应用。比如，任意以质数乘积形式给出的两个数，你只要发现任何一个质数在两边的幂次不相等，或者只有一边存在，那么根据算术基本定理，这两个数显然不相等。还有，我们的最大公约数和最小公倍数就可以写出显式的表达式了（而不是一个递推计算式了），即若干数各自唯一的因子分解结果里，的所有出现过因子各自幂次的最小或最大值。另外，还可以显然地发现，两个数的情况下，最大公约数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积。其实在我们证明很多数论结论的时候，都会很自然地写出一个整数的唯一因子分解的形式，作为基础推导下去，这里严格来讲，都得加一句“根据算术基本定理”。比如根号2是无理数的证明，素数有无穷多个，欧拉函数的分解公式，或是计算正整数所有的因数个数，因数和等问题看起来美好的排列组合应用都是建立在算术基本定理基础上才成立的。以上就是我关于算术基本定理的一些回顾和感悟，就让我们一起浸润在这奇妙的数学世界里，永远不要出来吧！下一篇，我们从算术进化到代数，来看看数学世界又一基本定理吧！
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