问题导思维，渐悟入佳境－例说数学思维训练

知行合一是真知，理事不二是至理。

于无声处听惊雷，于念起时观虚妄。

浮世万千，吾爱有三，

朝阳，明月，

和心中的花。

阳光灿烂，月光皎洁，心光照亮一切。

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早就收到平台开通付费阅读的邀请，今天第一次开。

创作不易，干货难得，花一块糖果钱犒劳辛苦码字的作者，先谢谢大家！

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本文字数：共8778字。

适合对象：数学老师、初中学生和家长。

本文提纲：

1.好问题才能训练好思维。

2.用问题串设置台阶，让理解层层深入。

3.用问题串叠加难度，让方法逐渐纯熟。

4.用问题串反复变式，让思想潜移默化。

5.利用问题串生成思维链。

阅读本文你将获得以下干货：

1.如何设计问题串简化问题揭示本质。

2.如何合理搭台阶引导探究训练思维。

3.如何进行问题变式强化观念渗透思想。

4.帮助学生（七年级）深度理解绝对值问题的实例。

5.帮助学生（七年级）熟练解决数轴与动点问题的实例。

6.帮助学生（七年级）灵活处理一元一次方程问题的实例。

7.通过问题实例帮助学生形成整体和对应的观念，掌握转化化归、分类讨论、数形结合等方法，理解可视化、简单化、组块化、流程化的思维策略，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。

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先发表点感慨：教书越久越感觉教学之难，同时也越发现教学之妙！

《颜氏家训》说：“上智不教而成，下愚虽教无益，中庸之人，不教不知也。”

现实中上智者很少，下愚者不多，中庸之人占大多数。

老师最大的用武之地是大多数中等生，老师可以帮助他们变得更好，上升到优秀者的行列。

教育教学是在和人性打交道，而大众的人性本能是反教育的。

有人说：当学生意识到自己是在被教育的时候，教育由此已经失败了。

是啊，谁愿意被改变被驯服呢？谁愿意离开舒适区对抗习惯呢？

除非他自己想要。

所以真正有效的教育是一种“潜教育”。

蓬生麻中，不扶自直－这是创造情境的“潜教育”。

激水之疾，至于漂石－这是创造势能的“潜教育”。

作为老师，要知情、设境、成势、赋能，自然水到渠成。

当然要做到很不容易，教育是一个庞大的系统工程，它既是科学又是哲学，既是技术又是艺术。为了研究教育，我致力于了解各种与人相关的知识，如教育学、心理学、行为学、脑科学、认知学、哲学、心学等。

当你了解到“人是习惯的动物，是情绪的奴隶”，你还会纠结于“讲了好多遍学生还不会”这个问题吗？

当你了解到“学习就是认知图式的建构”，你还会为“掰开了揉碎了讲清了学生还是没掌握”而疑惑吗？

教学之难，难在思维有定势和惯性，教学之妙，妙在认知有规律和方法。

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一、好问题才能训练好思维

大家都知道，数学教和学的核心是培养数学思维。

其实“培养”一词太宽泛笼统，大家都知道这样说，但谁都不知道具体怎么做。

更准确地应该用“训练”一词，即选择合适的材料和内容，按照科学的方法和程序，有目的有系统地实施既定方案。

研究表明，思维能力是可以通过训练而得以提升的。

那么，思维训练的材料和方法在哪里？

教材上没有，教参上没有，教辅资料上也没有，完全要靠老师自悟自创。

有些老师照本宣科就题讲题，学生的思维发展就要依赖自身的天赋和习惯了。

如果老师能根据学生情况设计启发性问题引导学生思考，学生的思维能力就在潜移默化中得到较好的发展。

思维是不能直接教授的，需要在解决问题的过程中不断地练习、体验、思考、总结、重复、强化。

数学思维蕴含在数学知识的生成和数学问题的解决之中。

教学中如何处理知识教学和解题教学正是老师境界高下的区别之处。

老师的教学若如天马行空不得要领，学生就会懵懂不清无法理解真意。

老师的教学若能因势利导循循善诱，学生自然心开意解轻松领悟本质。

老师根据学情设计恰当的系列问题并相机启发引导，就能形成一种“势”，推动学生顺势进行思考和练习，逐步深入理解问题掌握思维方法，形成良好思维品质。

思维能力的一项重要指标是思维链的质量，思维能力强的人思维链的节点连接准确、跨度大、数量多、指向活，而思维能力弱的人思维链长度短，且容易断，容易错误连接，缺少逻辑性和灵活性。

大多数人思维的发展是一个渐悟的过程，是螺旋式上升，曲线式前进，然后逐步稳定和固化，才能形成良好的思维习惯和思维品质。

老师在训练学生思维时不能急于求成，要循序渐进，要在解决问题的过程中经历积累经验－感悟生成－强化稳固的过程。

问题设计和预设引导的原则：

1.低起点，让所有学生都能理解，体验胜任感。

2.小台阶，让学生多次逐步练习，训练熟练性。

3.重逻辑，让思考过程自然合理，发展逻辑思维。

4.上高度，为学生提供更大空间，促进思维跃升。

5.自主思考，尽量让学生自已解决问题，积累经验。

6.开放发散，鼓励学生提出新问题新方法，培养创造力。

下面我们用实例呈现具体做法。

二、用问题串设置台阶，让理解层层深入

例1.绝对值的几何意义

（1）数轴上表示1的点与表示3的点之间的距离怎么算？

预设与引导：可以用3-1=2，或|1-3|=2.

（2）数轴上表示﹣1的点与表示3的点之间的距离怎么算？

预设与引导：可以用3-(-1)=4，或|-1-3|=4.

（3）数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离怎么表示（其中a>b）？

预设与引导：可以用a-b表示，或|b-a|表示.

（4）数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离怎么表示？

预设与引导：可以用|a-b|或|b-a|表示.

（5）概括两点之间的距离计算方法.

预设与引导：如果已知两数大小关系，距离为大数减小数的差；如果不确定两数的大小关系，距离为两数差的绝对值.

（6）|a-b|的几何意义是什么？|a|的几何意义是什么？

预设与引导：|a-b|是数轴上表示数a的点到数b的点之间的距离，|a|可以看成|a-0|，即表示数a的点到原点之间的距离.

（7）|x-1|+|x+2|的几何意义是什么？请在数轴上画出来.

预设与引导：|x-1|+|x+2|意义为数轴上表示数x的点到表示1的点及表示-2的点的距离之和，根据表示数x的点的位置不同，可以画出三种图形.

（8）观察数轴，|x-1|+|x+2|有最大值吗？有最小值吗？

预设与引导：观察数轴，表示x的点在-2左边移动，或在1的右边移动时，距离都大于3且无限增加，|x-1|+|x+2|的值大于3且无限增大，所以它没有最大值.当表示x的点在-2和1之间时，距离之和为定值3，所以当-2≤x≤1时它有最小值为3.

（9）|x-1|+|x-2|+|x-3|的几何意义是什么？当x为何值时该式有最小值？最小值是多少？

预设与引导：在数轴上画出表示x的点到1、2、3的距离，把x画在不同位置观察，发现当x=2时三段距离之和最小值为2.

（10）求当x为何值时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值？最小值是多少？

预设与引导：在数轴上画出表示x的点到1、2、3、4的距离，把x画在不同位置观察，发现当2≤x≤3时四段距离之和最小值为1+3=4.

（11）通过以上计算，你发现|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-n|取得最小值时，怎样确定x的值？

预设与引导：当n为奇数时，x取正中间的数（按大小排列）；当n为偶数时，x在中间的两个数之间（按大小排列），可以简称为“取中法”.

（12）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-100|的最小值.

预设与引导：用“取中法”知，当50≤x≤51时，式子取得最小值，配对组合，x到50与51的距离和为1，x到49与52的距离和为3，x到48与53的距离和为5，……，即求1+3+5+……+99=50^2=2500.

（13）求|x-1|+|2x-3|+|x+3|的最小值.

预设与引导：先转化|x-1|+|2x-3|+|x+3|=|x-1|+2|x-1.5|+|x+3|=|x+3|+|x-1|+|x-1.5|+|x-1.5|，即表示x的点到-3、1、1.5、1.5四个点的距离之和，用“取中法”知，当1≤x≤1.5时，式子取得最小值为5.

（14）求|x-1|+|0.5x-3|+|x+3|的最小值.

预设与引导：先转化|x-1|+|0.5x-3|+|x+3|=0.5(2|x-1|+|x-6|+2|x+3|)=0.5(|x+3|+|x+3|+|x-1|+|x-1|+|x-6|)，原问题即转化为求表示x的点到-3、-3、1、1、6五个点的距离之和的最小值，用“取中法”知，当x=1时，式子取得最小值为6.5.

（5）某环形道路上顺次排列有4家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆、8辆、4辆、12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．