基于解题
江苏省启东市教育局教研室
我们已经有了这样的共识，离开了解题，解题的策略就无从谈起。关于解题的教学，其渊源可以上溯到中国古代的经典数学专著《九章算术》。《九章算术》的实用特征，可谓是中国古代数学教育一贯重视“经世致用”的源头，训练一种技能，而不是养成理性的方法与精神成为中国古代数学教育的传统。时至今日，我们的数学教学依旧不知不觉地呈现出这种倾向，其表现为“主要把解题所需要的方法和技巧，作为‘知识’加以记忆和熟练，因而缺少对方法中蕴涵的人类认识问题的基本思想规律的渗透和感悟。”①
绝大多数教师的职业生命在教学习惯中度过。涉及解题，许多教师的教学常常不可避免地体现着中国数学教学的传统特色。所以，各种版本教材中“解决问题的策略”的单元或主题，虽然都彰显着良好的课程愿景，但实际教学往往变成了教解题：学生独立思考少，教师直接讲解多；追求做题的数量，不注重解题后的回味和提炼；难题解答前步步提示，保证解题正确；注重解题结果的对错，不注重策略的灵活使用；等等。
于是，在良好课程愿景与现实教学文化的互动中，笔者在教学“解决问题的策略”时，直面这样一个问题：怎样基于解题，而又超越解题？试以“倒推”为例，说说笔者的点滴拙见。
课 堂 实 录
一、在经验中积极酝酿
师：今天的数学课从“正话倒说”的游戏开始。游戏规则不解释了，我们先试着玩。老师说第一个词：长沙。
生：（异口同声）沙长。
师：对，就这样。江俊杰（班内一个学生的名字）。
生：（笑）杰俊江。
师：挺容易的，张口就来！下面一个——我又长高了。
生：了高——长——（后面几个字说得凌乱了）。
师：想好了吗？一起说，预备齐——
生：了高长又我。
师：吃不到葡萄说葡萄酸。
学生七张八嘴，逐渐不出声了。但不一会儿，有学生动起了笔。
师：哎，你发现周围有同学动笔了吗？哪几个？
生（几个）：我。我。
师（请一个没动笔的学生）：老师不是请大家说嘛，你猜猜看，他们怎么要写呢？会写什么？
生：句子太长，记不住了，所以先把那句子写下来。
师：那老师要求大家倒着说，我估计你们也会倒——着——写？
生：不会，是正着写，然后倒着说。
师（询问几个动笔的学生）：是这样的想法吗？大家同意吗？
生：对，我们同意。
师：好，先正着写再倒着说。既然大家达成了这样的共识，那这个忙老师帮你们。（屏幕出示“吃不到葡萄说葡萄酸”）现在——
生（齐）：酸萄葡说萄葡到不吃。
师：游戏玩起来可没有底，我们不妨总结总结。玩好这个游戏，你有了什么经验？
生：长的句子，可以先正着写下来，然后倒着说。
师：非常好，有了这个经验，我们开始学习今天的新课。
二、在“逼迫”中自我生成
师：请大家读题，并思考：李叔叔一家准备参观世博会，6时起床，穿衣、洗脸、吃饭共用35分钟，然后坐车1小时，李叔叔一家赶到世博园是几时？
生：35分钟加1小时是1小时35分钟，6时加1小时35分是7时35分，李叔叔一家赶到世博园是7时35分。
教师出示：35分+1小时=1小时35分
师：还有其它的方法吗？
生：6时起床，穿衣等用35分钟，那就是6时35分；坐车1小时，就是7时35分。
师：对，我们不妨一边读题，一边摘录条件，整理成箭头图（重音）（板书：边读题边摘录箭头图），然后逐步推测。
6时起床，35分钟后就是6:35（课件出示，填入括号），再过1小时就是7:35（课件出示，填入括号）。
师：李叔叔一家赶到世博园是7时35分。不过，李叔叔和王叔叔两家可约好了，11：00在世博园区的8号门会和一起去参观。现在你来判断一下，李叔叔定的这个方案怎么样？（生：太早了。）对，的确太早了，那看来可以推迟起床时间。你说，最迟可以几点起床？
生1：9:00。
生2：8:30。
师：我还听到有同学嘀咕着最迟10:00起床。有些同学虽然没有举手，但心里可能也有自己的答案。按照你们自己说的时间，逐步推测，得到的最后结果就一定是合理的吗？（“一定”重音）
教师边说边板书：开始
生1：不一定。
生2：可能还是嫌早，也可能晚了。
师：既然如此，那怎样思考得到的最迟起床时间才是合理的？
生：从结果开始想。
师：从结果开始想？能不能把你所说的，在老师的板书上表达出来？
生（上台）：先有结果，通过结果推断出这个时间，就是这个括号（指中间的括号），然后再推断出几时开始起床。
（板书：结果
师：怎么样？一下子听呆了，鼓掌都忘了？！（学生热烈鼓掌）那如果利用老师已有板书的话，也就是从结果开始逐步地倒着推测，是吗？
（师在原板书上添上反向箭头，即：开始
师：按照他说的方法，还需要把老师的题改一改，原题怎么变就可以这样思考解答了？
生：李叔叔一家要11:00赶到世博园，穿衣、洗刷、吃早饭要用35分钟，坐车1小时，问最迟几点钟起床？
师：也就是老师原题中“开始起床的时间”是已知的，在刚才这位同学的改动中，有什么变化？
生：现在是要解答的，未知的。
师：那原题中“几时赶到”是未知的，在刚才这位同学的改动中，又有什么变化？
生：知道的，已知的。
（课件出示：李叔叔一家参观世博会，起床后要用35分钟穿衣、洗刷和吃早饭，然后坐车1小时。如果准备11时赶到园区，那么最迟可以几点起床？）
师：题目改变了，那刚才一边读题一边摘录条件而成的箭头图，应该怎么改？
生：原先是6时起床，现在不知道，可以改成问号，也可以改成括号。而且把最后到的时间改成11时。
（随学生的回答出示：
（
师：我们在游戏中已经获得了成功经验，知道要倒着说顺利，最好先——
生：正着写。
师：以此类推，那么我们现在倒着想，也首先要正着把题目的条件摘录下来，然后按照摘录的条件倒着想。那正着摘录条件，是不是就是把现在的题再抄录一遍？
生：感觉那不行，那像做游戏了，不像做数学题了。
师：不错的感觉。下面你可以用自己的方法，当然也可以用老师刚才的箭头图来正着摘录条件。如果用箭头图，要比老师用的高明。什么是高明？越是简洁就越高明。现在开始。
（学生整理，教师巡视。）
师：大家在思考表示的过程中，老师粗粗地巡视了一番，大家都很有想法。思考的过程很美好，思考后的交流共享更重要。你自己比一比，只要和已有想法不同的，就可以上台展示自己的想法。谁第一个来？
（一个同学上台后，教师将其练习纸上的想法用剪刀剪下，并标上号码。渐渐地，展示台上有了以下学生作品。）
师：要说简洁，看上去最简洁的非6号想法不可了。
生：但看不出题目到底说了什么事情。就像倒说游戏中，要写“吃不到葡萄说葡萄酸”，要写了才行，只画了箭头没有办法倒着说。
师：老师真不知道用怎么的语言来表扬你，评价得真精彩！和6号想法相似的还有7号和9号，三个想法比一比，觉得怎么样？
生：9号想法好。
师：那7号想法不如意在什么地方？
生：7号想法里，做一个事情到底用多少时间没有表示出来。
师：嗯，数学的表达有数学的要求。到底做什么事情，对数学来说并不重要，重要的是到底用了多少时间。对于9号想法，老师有两个问题，一是能不能把“起床”这个词去掉？二是从时间的变化来说，这个35分和1小时是增加的还是减少了？那如何用符号表示清楚？
生：“起床”可以不写。
生：这两个时间都是增加的，所以在35分和1小时前可以写上“+”号。
师：剩下的想法中，一类是用了箭头的，一类是没有箭头的。我们不妨先看有箭头的。1号、2号、5号想法，怎么只有一个箭头了呢？
生：我知道，他们把穿衣、洗刷、吃饭用的时间和坐车用的时间合起来了。
师：谢谢你，不仅自己有想法，而且也乐意接受和理解其他同学的想法。那这三种想法比一比，显然，几号想法更棒些？
生：（异口同声）1号。
师：现在屏幕上还剩下3号、4号、8号、10号想法，怎么就不是箭头图了呢？
生：实际上还是箭头图，只是没有画出箭头来。
师：懂他的话吗？
生：我懂，9号想法里不是说最好加上“+”号吗？现在这些式子，就是没有画箭头，画了箭头就是9号想法了。
师：通过上面的分析，我们已经知道了那些是可以简略的，那些是不能省掉的。所以，这四种写法中，很显然——
生：10号最好。
师：也就是我们前面学过的方程，当然这里不要“x”直接用“（
全班学生鼓掌。
师：我们刚才画简洁的箭头图，相当于“数学地”正着写了题，那现在怎么倒着想呢？
屏幕上只出示1号想法、9号想法和3号想法。请学生根据不同的表示方法，说说怎样倒推。对于3号想法，其一要重点引导从式子的后面往前倒着算；其二要追问原先是“加”的，倒着想变成了怎么算？
师：题目得到了圆满地解答，祝贺大家。我们不妨再回顾一番，为了确定合理的最迟起床时间，我们既可以顺着起床时间去逐步推测，也可以从到达的时间去倒着推测，那种方法更管用？
生：倒着推测更管用。
师：对，在数学上像这样从结果去推测开始状况的思考方法，称为“倒推”（板书“倒推”）。我们从哪里开始倒推的？
生：结果。
师：那李叔叔从世博园区出来的时候，只剩下200元了，你能倒推出进园的时候带了多少钱吗？
生：不行。还缺条件，不知道他用钱的过程，不能倒推。
师：嗯，倒推从结果去推测开始，这其中依据是原先数量变化的过程（在箭头图中板书上“过程”）
师：哎，刚才的解答中我们是用什么形式来表示出过程的？
生：箭头图。
师：而且画箭头图很简单，一边读题一边摘录下条件就可以了。下面愿意自己练练吗？
生：愿意。
三、在辨析中真切感悟“倒推”
师：下面的题适合用倒推解答吗？
1.小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？
生：适合用倒推，因为知道结果，求开始有多少张邮票。
生：而且也知道过程。
师：好，那请大家先画出箭头图，然后再倒推解答。
学生解答后，一起交流。
师：下面的第2、第3题，哪题适合用倒推？为什么？
【此处是对“倒推”策略适用范围的敏感性训练，缺题目】
生：第2题适合用倒推，因为告诉了我们最后的计算结果是20，要求开始的数是多少，而且又知道了计算的过程。
师：哪个同学愿意算一算？
生：先用20加30得50，然后再用50除以2得25。
师：哎，箭头上明明写着减30啊！怎么是加30了？
生：是前面的数减了30才得20，现在要倒过来，就要把减去的30还回去，所以是加30。
× |
卖出了30箱
生：应该是卖出了30箱，因为箭头图中是“-30”。
生：我选择“运进了同样多的箱数”，因为箭头图中是“×2”。
师：那卖出了一半，怎么表示？
生：那应该在箭头图中表示出“÷2”。
师：好，我们已经有了两个条件了，分别是“卖出了30箱”、“运进了同样多的箱数”，那还缺少什么条件，问题是什么？
生：还缺少表示结果的条件，是“现在还有25箱苹果”。
生：问题是求原来的苹果箱数。
师：那根据箭头图我们还原的题是怎样的？大家酝酿一下，第一句话老师说，下面你们来接，怎么样？“水果店里有一批苹果……”
生：（齐声）运进了同样多的箱数，卖出了30箱，现在还有25箱，水果店里原有多少箱苹果？
师：哎，为什么不是“卖出了30箱，运进了同样多的箱数，现在还有25箱，水果店里原有多少箱苹果？”
生：如果是这样的话，摘录下来的箭头图不是这样的。
师：哪个来画出这样的箭头图？
师：这样的倒推结果就不一样了？！原先的箭头图中原先的数是25，那现在箭头图中原先的数是多少？
生：20除以2得10,10再加30等于40。
师：还真不一样。倒推时顺序一变，最开始的那个数也就不同，看来倒推还要注意什么？
生：要有序地倒推。
师：我们刚才由箭头图还原出了题，那是不是只能还原为这一道题，还可以还原成其他的题吗？有多少道？这样的题有什么共同之处？
生：还可以编出很多道题，这样的题画出箭头图都是这个箭头图。
师：对，很多道题顺着题意，把条件一个个摘下来都是这个箭头图。而有了箭头图后，不用特别费力，依次倒着算，就完成倒推了。看来，画好箭头图对于倒推解题真的很关键。下面，我们来看最难的题，有信心吗？
生：有。
出示：小军也是个集邮迷，他拿出邮票的一半多一张送给了小明，自己还剩25张。小军原来有多少张邮票？
学生解答后，一起交流，紧扣箭头图重点交流“先乘2”还是“先加1”。
四、在游戏中自然引申
师：今天的课从游戏开始，让我们也从游戏结束。4只小猫钓一条鱼，请大家找找是几号小猫钓到了鱼？比比谁找得快！
出示小猫钓鱼图片
图一出示，几个学生就举起了手。一会儿，更多的学生举起了小手。
师：是几号小猫钓到了鱼？
生：是3号小猫。
师：怎么找到的？
生：从鱼开始找，沿着钓鱼线就找到了是3号小猫。
师：题目中可没有要求大家要倒着想，而且是小猫在钓鱼呀，为什么不从小猫开始去找鱼？
生：4只小猫都在钓鱼，从小猫开始找的话，要找几次才能确定是那只小猫钓到了鱼。
师：那从小猫开始能不能找到是几号小猫钓到了鱼？
生1：不能。
生2：是可以的，不过太烦了。
师：同学们，刚才那个时刻应该是本课最美妙的时候。我们学习倒推，知道怎样用倒推虽然很重要，但更重要的是能主动地想到用倒推。很多时候，当我们顺着解决问题比较麻烦的时候，不妨主动地倒着来思考思考。这样的想法，在数学上有统一约定的说法，叫做“正难则反” （板书：正难则反）。希望大家能根据具体情境的特点，灵活地选择适合的方法。下课！
教 后畅想
一、萌发策略：教学囿于解题，还是跳出解题？
浓郁的解题情结，致使很多老师在“解决问题策略”的教学中，存在着认识
误区。比如，拒绝日常经验的介入，总觉得解题策略的感悟是建立在规范数学题的解答基础上；又比如，要让学生对策略有深切的体会，必须要解答高难度的数学题，总觉得从简单问题（或经验）中得到的体会是肤浅的。
不过，英国著名数学家M·阿蒂亚爵士说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。最重要的信息却常常包含在容易的部分，甚至在几个简单且深刻的观察之上。荷兰数学教育家弗赖登塔尔更是直白地说，数学的根源在于普通的常识。这些论述在一定程度上揭示了数学教育的一条规律，即经验是提炼数学知识与方法的“富矿”，只要善于挖掘和捕捉，就能为儿童的数学学习提供合适而又重要的感性支撑。
就本课例来说，课始“正话倒说”的游戏，通过长句的倒说，让孩子体会到了只有正着写了才能顺利地倒着说。“正着写，倒着说”不就是倒推法解决问题的精髓——“正着摘录，倒着计算”吗？游戏简单，却贴切地蕴含了倒推策略的要点。这些要点，儿童们在游戏中感悟悟，生动有趣，印象深刻。以此类推迁移，倒推前先画箭头图或列表摘录条件，就是源自学生内心需要的事情。可见，数学教师不是要创造新的数学概念，而是要创造儿童对数学概念的理解，数学中越是抽象理性的内涵，越需要我们转化为恰当贴切的直观形象。
二、引出策略：构造一个操练的问题，还是寻找一个真实的问题？
策略的学习总离不开问题，而问题大致上可以分为两类：真实的和构造的。在笔者看来，真实的倒推问题，学生从中能体会倒推之于解决问题的作用，更利于感悟价值；而构造的倒推问题，容易给人“为了学习倒推策略而用倒推”的感觉，更具有操练意义。两者对于策略的学习来说，虽然是不可缺少的，但学生初次感知倒推，留给学生“倒推真管用”的第一印象才更具有意义。所以，课始环节中提供的问题，需要考虑这个问题是否真实、充分承载了策略的价值。如果离开了这种策略，解题也是非常顺利的话，那么这个问题就不是教学这种策略的好载体。
粗粗梳理一番，发现人们自觉地运用倒推方法解决的问题主要有三类：外出确定最迟的出发时间；陌生情境中按原路返回；商业活动中根据某商品的市场定价确定购进原料的最高价格。确定原料的最高购进价格，离学生的生活稍远；陌生情境中按原路返回，虽然学生在生活中有所体会，但这似乎是天经地义的事情。而“倒推真管用”的价值，应该是学生自己在多种方法的运用中比较出来的，不是教师硬塞给孩子们的。从这个意思上，原路返回显然不能充分、鲜明地体现倒推的价值与意义。鉴于以上分析，借助世博的题材，在怎样合理地确定最迟起床时间的“逼迫”中，让学生生发出倒推的想法来，便是自然的选择。
三、探索策略：自主从理解和表征问题开始，还是从列式解答开始？
细究教材，可以发现教材中的两个例题虽然题材不一，层次不同，但都非常重视解答前对题目的理解和表征（具体见苏教版《数学》五年级下册88页）。例1，倒推前要引导学生先用列表的形式摘录条件；例2，倒推前要引导学生先用箭头图的形式摘录条件。为什么摘录条件的教学是如此突出？
我们知道，适合倒推解决的问题特征是，已知事情发展的过程和结果，求事物的开始状态。即结果是倒推方法的起点，而数量的变化过程是倒着计算的依托。换言之，如果不能合适地“正着摘录”，也就不能顺利地“倒着计算”！既然如此，多数教师的视野里为什么仅仅只有“倒着计算”呢？探索倒推策略，自主体会摘录条件的意义和方法，也是应有之义。在斟酌中，教学决定挤占了运用倒推策略练习的时间，而放手让学生交流摘录条件的方式，体会箭头图的意义。舍得在此花费时间，除了“正着摘录”是倒推策略的固有要素以外，还有其他的重要原因。
其一，箭头图可以作为一种模型去表征倒推问题。策略作为解决问题的谋略，内隐于学习者的心智内部，只可感悟意会。但对于教学活动来说，如果要教的东西都不可言说，那教学便也失去了可能性。因此，策略需要一种可感的外在的表现形式。无疑，箭头图就是倒推问题的合适形式。一个问题，把无关紧要的情节去掉，只留下其数量变化的过程，那便是箭头图。许多倒推问题，只要其数量变化的过程和结果相同，那归结起来便是同一幅箭头图。而依托箭头图，按此逐步进行逆运算，见加的变成减，见乘的变成除，如此按部就班，无须分析数量间的深层次关系，当然也不需要思维方面特殊的技巧，近乎机械操作即可。再难的倒推问题，有了箭头图也就不成为难。历史上，笛卡尔为什么被称为近代最伟大的数学家之一？就在于笛卡尔创造了解析几何，把几何问题转化为同一种形式——可处理的代数形式“为解几何问题提供了一种普遍的方法，而且是一种机械化的方法。”②这样的数学发展史实启示我们，近乎机械的数学方法，却能广泛运用，数学不拒绝特殊的思维技巧，但数学并不追求特殊的思维技巧。所以，数学问题的解答可以从灵巧的思维技巧出发，但需要向着一般化的方向努力。教学往那个方向去，自然也就是向着数学本质的有价值的旅行。
四、形成策略：回避并掩饰解题错误，还是暴露并积极利用解题错误？
教学是由很多个细节构成的，而且教者对于细节的处理都是劳神费心的。教学中，倒推的方法是在不能顺利地确定“最迟起床时间”中“逼”出来的；最初用倒推解决的题是学生自己编的；倒推的要点是在游戏经验和题目解答的基础上自我概括的；即便运用，也是在“下面的题能不能使用倒推”练习情境下的审慎选择。这一切细节的价值，都指向于——为了策略，而不是为了解题。这些细节的处理，如果从教学法的角度加以概括的话，那就是学生基于生活经验和简单问题正确解答基础上的自我感悟，是其心智生长获取策略的重要方式。但，那是唯一的方式吗？
我相信，不仅仅是我，绝大多数的教师在备课中都会预见到，学生在独立解答“邮票送出一半多一张”的题时，大多数学生会出错。课，马上就要结束了，还出现较多的解题错误！这种窘境逼迫着自己一再拷问教学的本源：为了解题还是为了策略？为了解题，教学更为关注解题的数量以及对错；为了策略，教学更为关注通过解题学生悟到的体会。学生独立解答前，在关键处作出提示，避免了解题出错，但学生们得到了什么？只是解对了此题而已！只是课堂看似顺畅了一些而已！而学生独立思考，解错了题，不正说明了他们对于倒推方法的认识感悟还有缺陷吗？而且这种缺陷，在正确解答时，是不易被察觉的。而错误的解答，才使倒推方法的更深层次意义凸显在了学生的视野之中。学生们“25×2+ 1”的错解，通过辨析，至少可以获得两点启示：其一，要按照数量变化的顺序有序地倒推；其二，不画箭头图，题目看似简单却容易出错，画出箭头图后，按部就班进行逆运算即可，一切思维技巧皆可忽视。因此，错解的辨析深刻地彰显了倒推前画箭头图的意义，以及箭头图的价值。教师提示下的解答正确，也许只是模仿的结果，并不见得投入了思考，而错误的解答虽然是错的，但却是孩子们投入思考自己创造的结果。这些结果，准确地诉说了他们的认识还不到位之处，为教学步入数学的深处提供了契机。这正是学生心智生长获取策略的另一种重要方式——错中悟理。
总之，为了解题的课堂立意更追求解题的数量，更关乎解题的对错。于是，正在情境中思考的孩子，被急于进入下个环节的教师莽撞地赶着前行，匆忙中思绪全无，被动中回味皆失。多层次、大题量，课堂时间在解题上被用到了极致。但“误用光阴比虚掷光阴损失更大，教育错了的儿童比未受教育的儿童离智慧更远。”课堂的立意失之偏颇，时间花得越多，教学就越可能南辕北辙。
感悟是灵魂的回头，是静心的观照。儿童能够自在思考，才能生成智慧；生命拥有自主时间，才具有意义。这一切所揭示的，正如法国18世纪伟大的启蒙思想家卢梭所言，“最重要的教育原则是不要爱惜时间，要浪费时间。”为了策略的教学，要舍得在必要的地方“浪费”时间，因为教育本就是一种慢的艺术！
参考文献：
（1）张奠宙．中国数学双基教学〔M〕．上海：上海教育出版社，2006．12．
（2）胡作玄．近代代数史〔M〕．济南：山东教育出版社，2006．91
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