近世代数 第一章习题练习

选取了部分题目供大家练习

14题中的集合A有5个不同的等价关系，在这里我一个一个列出来：

~1={a~a, b~b, c~c, a~b, b~a, a~c, c~a, b~c ,c~b}

~2={a~a, b~b, c~c, b~c ,c~b}

~3={a~a, b~b, c~c, a~c, c~a}

~4={a~a, b~b, c~c, a~b, b~a}

~5={a~a, b~b, c~c}

显而易见，从我们所学的知识中有很多等价类，举几个例子：三角形的全等、相似，数域K上 n阶方阵的等价、合同、相似都是等价关系。

答案是自己做的，如有异议欢迎指出

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补充：（以下内容来自丘维声的抽象代数基础）

抽象代数的重要性
1.抽象代数为现代数学、现代物理学、现代化学以及计算机科学，现代通信和密码学等提供了语言
2.抽象代数研究结构和态射的思想已经渗透到现代数学的各个分支中，在很多数学对象的研究中都要首先建立适当的代数结构或共他结构，然后通过研究态射来研究这些结构.
3.抽象代数的研究方法和重要结论在现代数学的各个分支，以及现代物理学，计算机科学、通信科学，信息安全、经济学等等领域都有重要应用
学习抽象代数可以受到数学思维方式的很好的训练，从而在培养科学的思维方式上有质的提高.

抽象代数的学习方法
1.要按照数学的思维方式来学习抽象代数
什么是数学的思维方式？观察客观世界的现象，抓其上要特征，抽象出概念或者建立模型；进行探索、通过直觉判断或者归纳推理，类比推理以及联想等作出猜测；然后进行深入分析和逻辑推理以及计算，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序.这就是数学的思维方式.
2.要多用具体例子来理解抽象代数的概念和结论
3.要抓住抽象代数研究代数结构，并且通过研究态射来研究代数结构这条主线.
4.要在理解的基础上记住基本概念和重要结论
5.要运用抽象代数的研究方法和重要结论去解决具体问题
6.要做一定数量的习题，才能理解概念，掌握理论和提高分析问题的能力