可测函数习题解

上篇文章的习题解答可测函数

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Answer

1.有限函数（在每一点取值有限的函数）一定是有界函数吗？证明成立或举出反 例。

answer

不一定，比如,设E=(0,1),函数在E处处有限(在每一点的取值都有限)但在E上无界。

再如，设则在E上每一点有限，但是在E上无界

2.用可测函数的定义（包括等价定义）证明：若是可测集上的可测函数，则也是上的可测函数。

(我们也容易知道 也是上的可测函数，证明方法同下，证明过程更简单)

对,有

而可测，则和均可测， 又在上有定义，则在上可测，即也是E上的可测函数。

3.假设,令若证明：

Tips:考虑集合列的特点及其与集合的关系.

首先证明集列的关系，对 因此得到：而我们不难发现为一递减集合列，且由测度的单调性得.根据测度的连续性定理知，因此，有

得证

2 Plus

任何点集E上的常数函数是可測函数吗？

解:不对．我们任何时候说到“函数在集E上为可测函数”都不能忘了一个前提条件：集为可测集。例如，设为不可测集，，则当时，集不可测. 因此由可测函数的定义知，不是上的 可测函数.

注 :不可测集E上不可能有可测函数，所以在题目中提到的集E，若未加说明，均指可测集