实变函数习题解
证明方法一：
证明方法二（简便方法）：
证法三（数分基础要求高）:
例一
例二
方法一
方法二
试用 Fatou 引理证明 Levi 引理。
Levi 引理的表述为：设 是递增的非负可测函数列，则
我们可以使用 Fatou 引理来证明 Levi 引理。 证明如下：
设 是递增的非负可测函数列，令 ，则 也是递增的非负可测函数列。
由 Fatou 引理可得：
因为 是递增的，所以 ，于是
另一方面，对于任意的 ，由 的递增性可得
所以有综合上述不等式，即得到
即为 Levi 引理。
首先，由于为递增序列，因此对于任意的和，有。那么，我们可以得到：
而对于每一个又有,于是
因此
首先，由于为递增序列，因此对于任意的和，有。那么，我们可以得到：
现在我们需要证明
由于，
，因此，。接下来，我们使用Fatou引理。由于为递增序列，那么，我们可以得到：
因此，我们得到：
由于
并且因此我们得到：举例说明对于 Riemann 积分，的可积性与的可积性不等价。
考虑在区间 上定义函数 ，当 为有理数时 ，当 为无理数时 。则 的绝对值函数为 ，是可积的，但 在 上不连续，不是可积的。因此， 的可积性与 的可积性不等价。
考虑定义在区间上的函数，显然在区间和上连续且有界，但是在点处发散，因此不是Riemann可积的。
然而，我们注意到，而是一个有限的常数，因此在上是可积的。
为什么可积？（因为函数在[-1,1]上有界且有有限个间断点）数学分析里面的定理
因此，可积，但不可积。
计算一下
因为考虑函数在和上的积分。在上，，而是一个有限的常数。
在上，，因此。 因此，
证明在上Lebesgue可积。
对于任意 ，由 ，可以找到 ，使得当 时，有 。因此，
同时，由于 ，因此当 时，有
即 在 上有界。因此， 在 上 Lebesgue 可积
首先，注意到 在 上连续，因此 在 上可测。我们需要证明 。
由于 在 上连续，因此它一定是有界的。具体地，存在 ，使得 对于所有 成立。
因此，我们有
由于 是一个有限常数，因此
即 在 上 Lebesgue可积设可测，并且，则对于E上任何几乎处处有限的可测函数, 函数必然在上 Lebesgue 可积.
由于 几乎处处有限，因此存在一个可测集 ，使得 ，且 在 上有界。具体地，存在 ，使得 对于所有 成立。
注意到对于任意 ，我们有
因此， 在 上有界。由于 ，因此我们只需要证明 在 上可积即可。 注意到 在 上非负。我们有 因此， 在 上可积。由于 ，因此 在 上也可积。联系客服
