勒贝格控制收敛定理是函数级数收敛的一个重要工具。它的基本思想是，如果一个函数序列逐点收敛于某个函数，并且存在一个可积函数，能够控制这个函数序列，那么就可以通过控制收敛定理来推断这个函数序列在整个定义域内的积分的收敛性。
具体来说，设 为一列可积函数， 为一可积函数，且对于所有 和 ，有 ，其中 是可积函数。如果函数序列 逐点收敛于 ，即 对于所有 都成立，则有
这就是勒贝格控制收敛定理的基本形式。
勒贝格控制收敛定理的优点在于，它不需要函数序列在整个定义域内一致收敛，只需要逐点收敛，并且有一个可积函数能够控制函数序列。这使得它在实际问题中的应用非常广泛，例如在傅里叶级数、函数逼近、微积分基本定理等方面都有广泛的应用。
证明：
我们可以使用勒贝格控制收敛定理来证明。
首先，注意到
因此，我们只需要找到一个可积函数 ，使得对于所有 ，有
注意到当 时，，因此
而当 时，，因此
因此，我们可以取 ，则对于所有 ，有
由于 是可积函数，因此我们可以使用勒贝格控制收敛定理。注意到当 时， 几乎处处收敛于0(前面某次作业题证明过)， 逐点收敛于
因此，由勒贝格控制收敛定理，我们有
证明:
首先我们观察到被积函数为，其在上有界，因此我们可以考虑控制收敛定理。
接下来，我们需要找到一个可积函数，使得对于所有的和都成立。注意到当时，会趋向于正无穷大，因此我们可以考虑取，则有：
因此是可积的，且对于所有的和，都有。
接下来，我们需要证明
注意到当趋向于正无穷大时，会趋向于，因此我们可以使用控制收敛定理，即：因此，我们证明了
即原命题成立。
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