可数集合

证明整系数多项式的全体是可数集

我们可以将整系数多项式表示为的形式，其中都是整数。我们可以将每个整系数多项式看作是一个元组，其中每个元素都是整数。因此，我们可以将整系数多项式的全体看作是所有元组的集合，即。由于是可数集，因此也是可数集。因此，整系数多项式的全体是可数集。

证明以有理数为系数的多项式的全体是可列集

我们可以将以有理数为系数的多项式表示为的形式，其中都是有理数。我们可以将每个以有理数为系数的多项式看作是一个元组，其中每个元素都是有理数。因此，我们可以将以有理数为系数的多项式的全体看作是所有元组的集合，即。由于是可列集，因此也是可列集。因此，以有理数为系数的多项式的全体是可列集。

如果一个集合可以和自然数集合{1, 2, 3, …}的某个子集一一对应，那么它就是可数集合。

例如，整数集合Z就是一个可数集合，因为我们可以按照如下方式将其与自然数集合的子集一一对应：

因为每个整数都可以唯一地被上述映射对应到自然数集合的某个元素，所以整数集合就是一个可数集合。

同样地，有理数集合Q也是一个可数集合.

需要注意的是，可数集合并不一定是有限集合。例如，自然数集合就是一个无限的可数集合。

我们可以采用康托尔-伯恩斯坦定理来证明有理数集合是可数集合。

康托尔-伯恩斯坦定理指出，如果存在一个函数是一对一的，则中元素的数量不超过中元素的数量。特别地，如果存在一个从到自然数集合的一一映射，则是可数集合。

我们利用该定理，构造一个从到的一一映射。

具体地，我们将有理数写成分数的形式，即，其中，然后将映射到。这样构造的映射是一对一的，因为确定了后，有理数也就唯一确定了。

下面证明是满射的。对于任意的，我们构造一个有理数。由于都是自然数，所以。又因为对于任意的都成立，所以被映射到了，即。

由此可知，我们构造的映射是一一且满射的，因此根据康托尔-伯恩斯坦定理，有理数集合是可数集合。证毕。

本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。