在第3.3节、第4.9节和第7.6节中，我们遇到了常微分方程组，并能够使用系统消元或拉普拉斯变换来解决一些方程组。在本章中，我们仅关注线性一阶微分方程组。我们将看到，线性微分方程组的一般理论和解法与第4章中考虑的线性高阶方程类似。这些内容对于第10章中非线性一阶方程组的分析是基础。
矩阵符号和性质在本章中被广泛使用。如果您对这些概念不熟悉，请查阅相关线性代数教材。
介绍： 回想一下，在第4.9节中，我们演示了如何解决形式为
这样的个未知数的个线性微分方程组。其中是微分算子的不同次数的多项式。在本章中，我们将研究一阶微分方程组的系统，这些系统是具有正常形式的特殊情况，即
这样的个一阶方程组称为一阶系统。
线性系统 当(2)式中的每个函数在依赖变量上是线性的时候，我们得到了一阶线性方程组的标准形式：
我们将形式为(3)的系统简称为线性系统。我们假设系数以及函数在一个公共区间上连续。当时，线性系统(3)被称为齐次的；否则，它是非齐次的。
线性系统的矩阵形式 如果和分别表示矩阵
那么，线性一阶微分方程组（3）可以写成：
或简写为
如果该系统是齐次的，其矩阵形式为
(a) 如果 ，则齐次线性系统的矩阵形式为
(b) 如果 ，则非齐次线性系统的矩阵形式为
在区间 上的解向量是任意的列矩阵
其每一项是满足区间上系统 (4) 的可微函数。
显然，(4) 的解向量等价于 个标量方程 ，在几何上可以解释为空间曲线的参数方程组。在重要的 的情况下，方程 表示 平面上的曲线。通常习惯将平面上的曲线称为轨迹，将 平面称为相平面。我们将在下一节回顾这些概念并加以说明。
验证在区间上，
是
的解。
解：由和，我们可以看出
个线性一阶微分方程组的许多理论与线性阶微分方程的理论类似。
初值问题：设是区间中的一个数，且
其中是给定常数。则问题
是定义区间上的一个初值问题。
设矩阵和的元素是在包含点的公共区间上连续的函数。那么在该区间上存在一个唯一的初值问题(6)的解。
齐次系统 在接下来的几个定义和定理中，我们只关注齐次系统。虽然没有明确说明，但我们总是假设和是在某个公共区间上关于的连续函数。
叠加原理 下面的结果是线性系统解的叠加原理。
设是齐次系统(5)在区间上的一组解向量。那么线性组合
其中是任意常数，也是该系统在该区间上的解。
根据定理8.1.2，对于齐次线性一阶微分方程组的任何解向量，它的常数倍也是一个解。
你应该通过验证以下两个向量
是方程组
的解。
根据叠加原理，线性组合
也是该方程组的解。
线性相关和线性无关 我们主要关注齐次方程组(5)的线性无关解。
设 是齐次方程组(5)在区间 上的一组解向量。如果存在不全为零的常数 ，使得对于区间中的每个 ，
则称该向量组在该区间上线性相关。如果该向量组在该区间上不是线性相关的，则称其为线性无关的。
当时的情况应该是清楚的；如果一个解向量 和是线性相关的，那么其中一个是另一个的常数倍，反之亦然。对于，如果我们能够将至少一个解向量表示为其余向量的线性组合，则解向量的集合是线性相关的。
WRONSKIAN( 朗斯基矩阵) 正如我们之前对单个常微分方程理论的考虑，我们可以引入Wronskian行列式的概念作为线性独立性的检验。我们在这里陈述以下定理，不给出证明。
设
个解向量是齐次系统（5）在区间上的解。当且仅当Wronskian
对于区间中的每个成立时，解向量的集合在上线性无关。
可以证明，如果是（5）的解向量，则对于中的每个，要么 ，要么。因此，如果我们可以证明在中存在某个使得，那么对于每个，，因此解在该区间上线性无关。
请注意，与第4.1节中对Wronskian的定义不同，这里行列式（9）的定义不涉及微分。
在例2中，我们看到和是例题2的解。显然，和在区间上线性无关，因为两个向量都不是另一个的常数倍。此外，我们有
对于所有实数成立。
对于齐次系统（5），任何一个由 个线性无关的解向量 组成的集合，在区间 上被称为基本解集。
对于齐次系统（5），在区间 上存在一个基本解集。
设 是齐次系统（5）在区间 上的一个基本解集。那么系统在该区间上的通解为
其中 是任意常数。
从例2中我们知道 和 是（6）在上的线性无关解。因此， 和 在该区间上形成了一组基本解集。该齐次系统在该区间上的通解为
向量
是在例3中的解（。现在
对于所有实数。我们得出结论， ， 和 在 上形成了一组基本解集。因此，在该区间上的齐次系统的通解是线性组合，即
非齐次系统 对于非齐次系统，定义在区间上的一个特解是任何一个不含任意参数的向量，其分量函数满足系统(4)。
设是非齐次系统(4)在区间上的一个特解，表示相应齐次系统(5)在同一区间上的一般解。那么非齐次系统在该区间上的一般解为。 相应齐次系统(5)的一般解被称为非齐次系统(4)的补解。
向量 是非齐次系统的一个特解，该系统表示为
在区间 上成立。（验证一下）根据例5，在相同区间上，方程 的齐次解或通解为 。因此，根据定理8.1.6，非齐次系统(11) 的通解为
在区间 上成立。
联系客服
