摆线、等时线与最速下降曲线

摆线

    将圆在平面上沿着某一特定方向滚动，圆周上任一点的轨迹就叫摆线，或旋轮线。举个形象的例子，将一颗泡泡糖贴在汽车的轮子边缘上，当汽车在平直的公路上行驶时泡泡糖的运动轨迹就是摆线。摆线有很多有意思的物理性质，比如等时线和最速下降曲线就是摆线。

等时线

    伽利略发现单摆的振动周期跟振幅无关，因此，单摆可以作为很好的计时工具。伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的，因此也叫圆周摆。但更精确的实验表明单摆的周期跟振幅有关，振幅越大，周期越长，只不过在振幅较小时这种周期的变化是很小的。所以，如果用单摆来制作时钟，由于振幅会因为摩擦和空气阻力的影响而越来越小，时钟也因此越走越快。荷兰物理学家惠更斯对单摆也有研究，他提出了单摆的周期公式并制成了摆钟。为了制成更精确的摆钟，惠更斯想要找到一条曲线，使质点沿着这样的曲线振动时，周期完全与振幅无关。

    要是质点从一条曲线上任何一点处由静止释放开始在重力作用下沿该曲线滑到最低点时所需时间相等，这样的曲线就叫等时线。用两条等时线组成的位于同一竖直平面并关于过最低点的竖直直线对称的曲线就满足质点在重力作用下沿该曲线的振动周期与振幅无关。后来惠更斯、拉格朗日等从数学上证明了等时线就是倒过来的摆线，从而可以按照等时线的形状制作周期与振幅无关的时钟。

最速下降曲线

    设有水平坐标和竖直方向上的坐标都不相同的两点，现在在这两点之间找出一条轨迹使得质点在沿这条轨迹从较高的点静止释放后在重力的作用下滑到较低的点时所需时间最短，这条轨迹就叫最速下降曲线。可以证明最速下降曲线也是摆线。

    求最速下降曲线的本质是求满足一定约束条件的使得积分取极值的被积函数，这类问题属于泛函求极值。类似问题还有求曲面上的短程线，以及求给定边界下面积最小的曲面，后者在物理上实际上就是求铁丝圈(不一定是圆的，也不一定是平面曲线)中稳定肥皂泡膜的形状。欧拉和拉格朗日在求解最速下降曲线这类问题的过程中发展出了一种普适的方法——变分法，它可以将积分型泛函求极值的问题转化为求微分方程的解。更有意思的是，费马发现光的传播满足时间最短原理(点击参考:光的反射跟折射遵循同一条定律)，这样光的传播路径的求解就可以转化为泛函求极值的问题。经典力学中物体在保守势场中的运动也可以转化为泛函求极值的问题，从而用变分发求解，这种解决力学问题的方法也叫拉格朗日力学。可由拉格朗日力学进一步演变出哈密顿力学，哈密顿力学还可以推广到量子力学中，从而量子力学可以看作是经典力学的自然延伸。