只有一侧的曲面

    曲面通常都有两侧，要想沿着曲面从一侧进入另一侧，那就一定得翻过曲面的边缘。好比一只蚂蚁从一页书纸的一侧爬到另一侧一定会翻过书纸边的棱一样。有没有哪种曲面只有一侧呢？或者说蚂蚁不用翻过棱就能从该曲面上一点爬到曲面上的任意位置？

    还真有，莫比乌斯带就是这么一种。想象将一条长方形的带子两端接在一起，那么就会形成一个环，而这个环还是有两侧，不可能在带子上找出一条连接某一点和背面的一点而不翻过棱的路径。但要是将带子两端向相反的方向扭转180°，再连在一起，从而形成一个扭曲的环，那么这就是个单侧曲面，因为对于带子上的任意一点，总可以找到一条不用翻过棱的路径连接到其背面的一点。比如从上面任意一点出发，沿着平行于中线的路径一直走，走一周后就会到达背面上相对应的点，再走一周又会回到原来的点。这种带子就叫莫比乌斯带(如下图)，它在拓扑学中有非常重要的地位。莫比乌斯带上的两侧实际上是同一侧。

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莫比乌斯带(来自维基百科)

    莫比乌斯带有一些很有趣的性质，比如我们把一个莫比乌斯带沿中线剪开后，会发现它不会一分为二，而是变成了一个大环。将莫比乌斯带沿着平行于中线的三等分线剪开，会形成一大一小相互套连的两个环，大环周长是原莫比乌斯带的两倍，小环周长与原莫比乌斯带相同。莫比乌斯带也有一些有趣的的应用，比如将传动皮带制成莫比乌斯带的形状就不会像普通皮带那样只磨损一侧。严格地说，莫比乌斯带形皮带确实只磨损一侧，因为它只有一侧。当然单侧曲面也不只莫比乌斯带一种。