科赫曲线——一种具有非整数维度的图形

  初等数学中的曲线通常都是光滑或者分段光滑的，比如圆、多边形、抛物线等就是这样的曲线。但并不是所有曲线都分断光滑，比如著名的科赫曲线(下图所示)，取其任意小的一段放大都会发现其结构总是粗糙的、充满棱角、支离破碎的。

​

    画一个正三角形，将每条边分成三等份，再以中间一份为底，向外画一个等边三角形，并将底去掉；然后对新生成的图形的每条边再进行这样的操作，无限重复下去，就得到科赫曲线，它像一朵雪花❄️(上图所示)。

    可以证明科赫曲线上的任意一点都不可微，或者说不是光滑的。另外科赫曲线的长度无穷大，但曲线包围区域的面积是有限的，等于

​

其中s是初始三角形的边长。

    另外还可以发现，科赫曲线具有自相似特征，也就是局部跟整体相似，比如下图

​

是一段科赫曲线，它由4个以下

​

跟原来图形形状一样但尺度上相当于将原来图形缩小到1/3的局部片段拼接而成。

    现在可以和常规的几何图形做一个比较，就会发现其奇妙之处。我们知道，将1维的线段分为原来的n等份，则每一等份在尺度上相当于将原来的图形缩小到原来的1/n，因此

-ln(n)/ln(1/n)=1

就是线段的维度；将2维的正方形分为原来的n²等份，则每一等份为一个小正方形，在尺度上相当于将原来的图形缩小到原来的1/n，因此

-ln(n²)/ln(1/n)=2

就是正方形的维度；将3维的正方体分为原来的n³等份，则每一等份为一个小正方体，在尺度上相当于将原来的图形缩小到原来的1/n，因此

-ln(n³)/ln(1/n)=3

就是正方体的维度。现在我们将以上关系推广到科赫曲线上可以得到其维度为

-ln(4)/ln(1/3)

即

ln4/ln3≈1.262

也就是说科赫曲线的维数不是整数，这种图形叫做分形。具有非整数的维度是分形跟常规几何图形最大的区别之一。由于有限的1维图形(如线段)具有有限的长度，但面积为零；有限的2维图形具有有限的面积，但长度为无穷；而科赫曲线长度无穷，即比1维图形长度大，但面积为零，又比2维图形面积小，因此可以认为其维度介于1和2之间，这样前面计算出来的分形维数1.262就显得合理了。

    分形在我们的生活中随处可见，比如海岸线、闪电的形状、云、山脉等。分形有无限的细节，因此对于分形曲线，当用更小的尺子去测量时，测得的长度就会更大，分形曲面也一样。专门研究分形的几何学叫做分形几何，分形几何向人们揭示了一个非常深刻的道理——测量的结果与与标尺有关；就像沿着海岸线从一点走到另一点时，蚂蚁走过的长度肯定比人走的要长得多，因为蚂蚁的尺度更小，会经过更多的细节。