用一元无穷次方程求所有正整数倒数平方和

  通过因式分解，一元n次多项式可以用相应一元n次方程的n个根对应的一次因式的乘积表示，即

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其中，

为相应一元n次方程的根。

    根据泰勒公式，正弦函数sin(x)可以展开为一元无穷次多项式(无穷级数)，

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注意：展开式中x三次项的系数为

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此外，sin(x)的所有零点，即方程sin(x)=0的根为x=kπ (k可以取任意整数)，可以看作一元无穷次方程的无数个根。类比前面一元n次多项式的性质，sin(x)也应该可以用所有根(零点)的一次因式之积来表示，即

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上式可化简为

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根据

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可以确定上式等号右端前面的系数a=1，因此上式可以进一步化简为

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按照多项式的乘法展开法则将上式等号右端展开得到

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其中，x三次项的系数为

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它与前面通过泰勒公式展开得到的无穷次多项式的x三次项系数应该相等，即

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因此

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    上式给出了所有正整数倒数平方和的值。由于结果含有圆周率π，也可以通过上式计算圆周率，一般取前面的有限部分整数倒数平方求和，用其结果估算圆周率就足够精确，通常取的项数越多结果越精确。