微分方程

定义

含有未知函数的导数的方程叫作微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫偏微分方程。

例

设p(t)是某地人口随时间变化的函数，假设人口增长速率与人口数量成正比，比例系数为λ。求从现在开始经过时间t后人口数量。

解：

根据题目中的假设和条件，可以得知人口变化满足以下方程

​

变形得到

​

上式左边可以看成函数

​

对p求导的结果，右边可以看成是函数

​

对t求导的结果。其中C₁与C₂为任意常数。因此，原来的微分方程可以变为

​

即

​

上式中C也是任意常数。考虑到t=0时人口为p(0)，即初始条件，上式可以变为

​

即人口按指数函数增长。

    上述模型叫作Malthus模型。将一定数量人(或生物)迁入一个新的环境中，不限制出生，且在没有生存资源限制的情况下，人口或生物种群的数量在短期内的增长规律近似符合Malthus模型。

    自然科学和实际生活中的很多问题都可以抽象为微分方程，研究相应微分方程的性质或求解就可以得到相应问题的答案。