定义
含有未知函数的导数的方程叫作微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫偏微分方程。
例
设p(t)是某地人口随时间变化的函数,假设人口增长速率与人口数量成正比,比例系数为λ。求从现在开始经过时间t后人口数量。
解:
根据题目中的假设和条件,可以得知人口变化满足以下方程
变形得到
上式左边可以看成函数
对p求导的结果,右边可以看成是函数
对t求导的结果。其中C1与C2为任意常数。因此,原来的微分方程可以变为
即
上式中C也是任意常数。考虑到t=0时人口为p(0),即初始条件,上式可以变为
即人口按指数函数增长。
上述模型叫作Malthus模型。将一定数量人(或生物)迁入一个新的环境中,不限制出生,且在没有生存资源限制的情况下,人口或生物种群的数量在短期内的增长规律近似符合Malthus模型。
自然科学和实际生活中的很多问题都可以抽象为微分方程,研究相应微分方程的性质或求解就可以得到相应问题的答案。
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