矩阵的相似对角化

定义1

    设A, B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵T使

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则称A与B相似，称从A到B的这种变换为相似变换，称这个矩阵T为相似变换矩阵。

    若A与一个对角矩阵D相似，则称A可以相似对角化。

定理1

    n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。并且

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为对角矩阵的充要条件是，T的n个列向量是A的n个线性无关的特征向量，且这n个特征向量对应的特征值依次为对角矩阵D的主对角线上的元素(特征值与特征向量)。

定义2

    设λ₀是n阶方阵A的一个特征值，若λ₀是A的特征方程的m重根，则称m是特征值λ₀的代数重数，称λ₀对应的特征子空间(即(λ₀E-A)X=0的解空间)的维数为λ₀的几何重数。

定理2

    设A是n阶实对称矩阵，则A的互不相同的特征值的几何重数之和为n。

定理3

    设A是n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵(正交矩阵与正交变换)P，使

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其中λ₁, λ₂, …, λ_n,是A的n个特征值。

    方阵的相似对角化在求方阵的幂，解线性微分方程组，求数列通项公式等方面有重要应用。