正交矩阵与坐标变换

单位矩阵

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的各列可以分别表示一个n维直角坐标系下各个坐标轴正方向的单位向量以这些单位向量自身构成的向量组为基的坐标。因此E_n也可以表示一个直角坐标系。

任意一个n维正交矩阵A_n的各个列向量则可以分别表示将上述坐标系的基经过一个正交变换(旋转、反映，及它们的组合)后在原来的坐标系下的坐标。

那么在原来的坐标系下坐标为α的向量(或点)在经过正交变换后的新坐标系(A_n的列向量确定的坐标系)下的坐标则为

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同理，在A_n的列向量确定的新坐标系下坐标为β的向量(或点)在原来的坐标系下的坐标为

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