黎曼猜想

ζ函数

前面介绍过求所有正整数倒数平方和的问题(用一元无穷次方程求所有正整数倒数平方和)，若把倒数的指数从2推广到实部大于1的一般复数，级数仍然是收敛的，从而可以根据这个级数定义一个函数，即黎曼ζ函数

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现在将该函数在复平面上解析延拓(上述函数在实部大于1的复平面区域是解析函数，即在该区域内处处可导的函数；通俗地说就是扩充解析函数的定义域，使新函数在更大的定义域内解析)。解析延拓后的ζ函数可以是通过以下路径积分表示出来的函数

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上式中的积分路径C是从正无穷出发沿实轴上方至原点附近，再绕过原点从实轴下方至正无穷，即逆时针包围正实轴(及原点)的路径。解析延拓后的ζ函数除了在s=1处有一个简单的极点外，在整个复平面上解析。利用ζ函数的积分表达式可以证明ζ 函数在 s=-2n(n为正整数)处值为零，这些零点称为ζ 函数的平凡零点。ζ 函数除了平凡零点外还有其他零点，称为非平方零点。

黎曼猜想

黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程ζ(s)=0的解除了s=-2n(n为正整数)外，其他解的实部都是1/2。