协变导数与曲面上向量的平移

    曲面上的向量指的是曲面上给定点处与曲面相切的向量。平面上的向量在平面上进行任意平移后都处于同一平面内，或者说与原来的平面相切。类比平面上向量的平移，也可以定义曲面上向量的平移，使其平移之后仍然与曲面相切。

    设曲面S上有一条曲线(C):

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现在给出曲面上的向量场v(t)(与曲面处处相切),沿着曲线移动时，向量v(t)的导数在r(t)处的切平面上的投影

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称为沿曲线的协变导数，其中n为曲面的单位法向量。当

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时，就可以认为沿曲线的向量场中任一向量是该向量场中其他向量沿曲线平移得到的。这种平移称为列维-齐维塔平移。

    曲面上的平移跟平面上的平移有很多相似的性质，但也有明显的区别，比如曲面上的向量平移后的方向跟平移的路径(曲线)有关。想像站在地球南极的一个人水平地扛着一根竹竿，现在将其水平地从南极移动到北极，若像螃蟹一样侧着走，最后竹竿的方向跟原来一样，若一直向正前方走，最后竹竿的方向跟原来相反。相反，通过这种方式也可以判断地球表面是曲面而不是平面。