圆、椭圆与卵形线

众所周知，圆可以定义为到定点(圆心)的距离等于等于常数(半径)的点的集合。其方程为

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其中l为曲线(圆)上的点到定点(圆心O)的长度，r为半径。

那么能否通过推广圆的定义来得到椭圆的定义呢？其实很简单，不妨将圆心看成是两个重合的点。这样圆的定义就可以改成到两个重合的定点(O1和O2)的距离之和等于常数(直径d)的点的集合，方程可以改写为

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当这两个定点不再重合时得到曲线就是一般的椭圆，其方程为

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因此圆可以看成是特殊的椭圆。一般椭圆与圆的重要区别是对称性降低了，圆心是圆的对称中心，且任意过圆心的直线都是圆的对称轴。但对于椭圆而言，除了有一个对称中心外，只有长轴和短轴所在直线是其对称轴。

提到椭圆，不难想到鸡蛋🥚，但与椭圆不同的是，鸡蛋两头大小不一样。能否将椭圆的定义稍加修改，从而定义出形状类似鸡蛋轮廓的曲线呢？为了达到这个目的，不妨将椭圆的方程改写成

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麦克斯韦认为椭圆两头对称是因为上述方程前面两项的系数相等(都为1)，并推测只要把两个相等的系数换成不相等的系数，即

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那么方程刻画的图形就是像鸡蛋轮廓一样一头大一头小的卵形线，事实上也确实是这样。用通俗的语言描述卵形线就是：到两定点距离的正系数线性组合为(正)常数的点的集合。上述方程等号两边可以同除以系数d，从而化为

显然，椭圆可以看成是卵形线的特殊情况。跟椭圆相比，一般的卵形线对称性则更低，只有一个对称轴。

到此，不妨继续开脑洞，想象怎么对椭圆的定义稍加修改得到只有一个对称中心但没有对称轴的被拉斜了的椭圆呢？将以上方程中的“＋”号换成“-”号后方程所刻画的曲线又是什么形状呢？

除了麦克斯韦定义的卵形线外，数学上也有其他种类的形状与鸡蛋类似的卵形线。在微分几何中，卵形线已经被推广到更一般的情形，而且上述狭义的卵形线​的部分性质在一般的卵形线中依然成立，比如四顶点定理所描述的曲率的性质。

事实上，做学问的两种重要模式就是给出一种值得推广的特殊理论，比如勾股定理; 和将已有理论向更一般的情形推广，比如对应于勾股定理的余弦定理及(函数空间中的)帕塞瓦尔等式。