素数定理

几千年以来，素数吸引了很多数学家的兴趣。例如，早在公元前 300 年, 欧几里得就通过反证法证明了素数有无穷多个。欧拉则通过ζ函数将涉及所有正整数的无穷级数与涉及所有素数的无穷乘积联系起来(ζ函数的欧拉乘积式)。根据这种关系式也可以证明素数有无穷多个。

既然素数有无穷多个，那是否可以用一个函数准确地描述素数在整数中的分布呢？或者说对于任意的正整数x，是否可以用一个简单的公式准确地表示出不超过x的素数的个数呢？遗憾的是这个问题至今尚未得到较好的解答。已有的一些研究成果要么只能给出部分素数，要么又太过复杂，几乎并没有解决问题，而是把一个难题转换成了另一个难题。不过，一些数学家还是给出了描述素数分布的渐近函数，其中比较著名的有高斯和勒让德提出的结论，后来他们的得到的这一素数分布的结论被称为素数定理。

素数定理 设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数，当x→∞时，有渐近表达式

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成立。式中，

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​事实上，π(x)可以更准确地表示成

式中，大O符号表示有界量(无穷小量与无穷大量)。

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