切比雪夫不等式与马尔可夫不等式

理论上，只有知道一个随机变量的分布才能对随机变量进行准确描述，并计算出相关的统计参数。不过一个随机变量的统计参数其实已经提供了随机变量的部分信息，因此在知道随机变量的一些统计参数的情况下也可以对它的分布进行一定程度的估计。例如，著名的切比雪夫不等式和马尔可夫不等式就是概率论中根据随机变量的期望和方差等参数估算随机变量分布的理论。

定理1(切比雪夫不等式) 设随机变量X具有数学期望μ和方差σ²，则对于任意的正数δ，不等式

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成立。

定理2 (马尔可夫不等式) 设非负的随机变量X具有数学期望μ，则对于任意的正数δ，不等式

成立​。

可见，切比雪夫不等式同时涉及期望和方差，而马尔可夫不等式由于受到条件“随机变量非负”的限制，就只涉及期望而与方差无关。

通常用切比雪夫不等式和马尔可夫不等式估算概率是比较粗略的。但切比雪夫不等式有一个非常重要应用，就是证明弱大数定理，即告诉我们在什么条件下样本均值收敛于总体均值。除上述两个不等式外，还有切尔诺夫限根据矩量生成函数给出了尾概率的一个上限；柯西—施瓦兹不等式(柯西不等式与不确定关系)则给出了两个随机变量协方差的上限，即各自标准差的乘积。