理论上,只有知道一个随机变量的分布才能对随机变量进行准确描述,并计算出相关的统计参数。不过一个随机变量的统计参数其实已经提供了随机变量的部分信息,因此在知道随机变量的一些统计参数的情况下也可以对它的分布进行一定程度的估计。例如,著名的切比雪夫不等式和马尔可夫不等式就是概率论中根据随机变量的期望和方差等参数估算随机变量分布的理论。
定理1(切比雪夫不等式) 设随机变量X具有数学期望μ和方差σ²,则对于任意的正数δ,不等式
成立。
定理2 (马尔可夫不等式) 设非负的随机变量X具有数学期望μ,则对于任意的正数δ,不等式
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