悬链线的形状

悬链线，顾名思义，就是两端固定的柔性细线在重力作用下自然下垂时的形状。悬链线对我们来说并不陌生。例如，相邻两个电线杆之间的电缆自然下垂时的形状就是悬链线。

历史上，很多科学家思考过悬链线的形状，也就是从数学上对悬链线的准确描述，或者说悬链线的方程。据记载，最早思考悬链线形状的是意大利画家达·芬奇(Leonardo da vinci)。达·芬奇在数学、物理、工程等领域做过不少研究和思考。当他欣赏自己的作品《抱貂的女子》时想到一个问题：固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链的形状是什么样的曲线？但他在去世之前都没能找到答案。

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达·芬奇的作品《抱貂的女子》(图片来自Wikipedia)

伽利略也研究过这个问题，并猜想这条曲线是抛物线。然而惠更斯后来用物理方法证明了这条曲线不是抛物线，但到底是什么曲线他也不知道。直到1691年，莱布尼兹和伯努利均在《教师学报》上发表了自己的答案。

事实上，根据线条受力平衡条件可以得到以下微分方程

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其中，x和y分别表示水平方向和竖直方向的坐标，a=T₀/(ρg)，T₀是线条在水平方向的张力，ρ是线条的线密度，g是重力加速度。

令

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则前面的微分方程可以转化为

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上述方程可以用分离变量法(求解微分方程的分离变量法)求解。然后将p对x积分就可得到y的表达式

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若令y(0)=a，就可以得到悬链线的方程为

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实际上，上式就是双曲余弦函数(三角函数的近亲——双曲函数)的复合函数，因此可以用双曲余弦函数表示为

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现在此方程的曲线就称为悬链线。