祖暅原理

祖冲之之子，祖暅，在求球体的体积时，用到一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是指立体图形横截面积，“势”是立体图形的高。这句话的意思就是界于两个平行平面之间的两个立体图形，被任意平行于这两个平面的平面所截时，如果两个截面的面积都相等，则这两个立体图形的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理(Cavalieri's principle)，只不过卡瓦列利原理还包含二维情形。

该原理的严格证明需要用到微积分理论，其实并不难。设立体图形高度为H，在任意高度h处的横截面积为S(h)，则其体积为

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祖暅原理中两个立体高度H相等，任意高度处的横截面积S(h)相等，自然体积V就相等。

其实直观上也不难理解。想象有一摞硬币，不管硬币在水平方向上怎么交错，相同高度处的横截面积，也就是每个硬币水平方向的表面积都不变，或者说相同高度处的硬币体积都不变。又因为高度不变，体积也就不变。

祖暅原理示意图(图片来自Wikipedia)​

用祖暅原理可以很巧妙地推导出球体的体积公式。将一个半径为R的半球体和半径和高均为R的圆柱体像下图这样放在一平面上，然后在圆柱体中挖去一个半径和高均为R的圆锥。左右两个图形在任意高度h处的截面积都是

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所以两个图形体积相等。左边图形的体积等于圆柱的体积减圆锥的体积，也就是

这也就是右边半球的体积。所以球体的体积就为上述体积的二倍，即

但​这并不是祖暅采用的方法，他是先根据祖暅原理由四棱锥的体积求出牟合方盖的体积，然后根据刘徽证明出的牟合方盖与球体体积间的比例关系得到球体体积公式。