祖冲之之子,祖暅,在求球体的体积时,用到一个原理:“幂势既同,则积不容异”。“幂”是指立体图形横截面积,“势”是立体图形的高。这句话的意思就是界于两个平行平面之间的两个立体图形,被任意平行于这两个平面的平面所截时,如果两个截面的面积都相等,则这两个立体图形的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理,国外则一般称之为卡瓦列利原理(Cavalieri's principle),只不过卡瓦列利原理还包含二维情形。
该原理的严格证明需要用到微积分理论,其实并不难。设立体图形高度为H,在任意高度h处的横截面积为S(h),则其体积为
祖暅原理中两个立体高度H相等,任意高度处的横截面积S(h)相等,自然体积V就相等。
其实直观上也不难理解。想象有一摞硬币,不管硬币在水平方向上怎么交错,相同高度处的横截面积,也就是每个硬币水平方向的表面积都不变,或者说相同高度处的硬币体积都不变。又因为高度不变,体积也就不变。
所以两个图形体积相等。左边图形的体积等于圆柱的体积减圆锥的体积,也就是
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