矩阵的几何意义

我们知道，二阶行列式表示两个二维行或列(因为行列式转置后值不变)向量所张成的平行四边形的带(正负)符号的面积。当从上往下(从左往右)第一个行(列)向量沿逆时针方向绕到第二个行(列)向量旋转的角度小于180°时，符号为正，大于180°时符号为负，等于180°时，两向量共线，行列式的值即平行四边形面积为零(不构成平行四边形)。三阶行列式表示三个三维行(列)向量张成的平行六面体的带符号的体积，更高阶的行列式则表示更高维的平行多胞体的带符号的体积(行列式的几何意义)。那么矩阵有什么几何意义呢？尤其是行列不等的矩阵。

显然，m×n矩阵A可以看作m个n维行向量的有序组合或者n个m维列向量的有序组合。

当m=n时，矩阵就是方阵，自然这些矩阵的行列式就表示由这些行(列)向量张成的平行多胞体的带符号的体积。当m≠n时就不能定义该矩阵的行列式了。

不过此时，矩阵A与其转置矩阵的乘积为m阶方阵，即

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A的转置矩阵与它自身的乘积是n阶方阵，即

显然对上述两个方阵可以定义行列式​。可以证明，当m＜n时行列式|AAT|的值就等于n维线性空间中组成矩阵A的m个行向量(​β₁,β₂,…,βm)所张成的m维平行多胞体的带符号的体积的平方；而|ATA|则等于零(也可以理解为等于m维线性空间中组成矩阵A的n个列向量(​α₁,α₂,…,α_n)所张成的n维平行多胞体的带符号的体积的平方，因为低维空间中不可能存在更高维的平行多胞体，所以体积为零)。同理，当m>n时行列式|ATA|的值就等于m维线性空间中组成矩阵A的n个列向量(​α₁,α₂,…,α_n)所张成的n维平行多胞体的带符号的体积的平方；而|AAT|则等于零(也可以理解为n维线性空间中组成矩阵A的m个行向量(​β₁,β₂,…,βm)所张成的m维平行多胞体的带符号的体积的平方，因为低维空间中不可能存在更高维的平行多胞体，所以体积为零)。