四元数的复矩阵表示

复数可以用实数矩阵表示，类似的，四元数(从复数到四元数)也可以用(二元)复数矩阵表示。通常四元素可记作q=q₀+q₁i+q₂j+q₃k。其中，规定三个虚单位之间的运算规则为

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定义矩阵

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容易验证，上述矩阵具有以下运算性质

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若将四元数的实单位1以及3个虚单位i,j,k分别与四个矩阵I,S₁,S₂,S₃一一对应，则四元数四个单位间的乘法运算与四个矩阵间的乘法运算具有一致的结果。这样就可以用上述四个矩阵表示四元数的四个单位。从而，可以将四元数q=q₀+q₁i+q₂j+q₃k表示为

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将四个矩阵代入上式就可以得到

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这就是四元数的矩阵表示形式，它将四元数用复数矩阵表示出来了，从而只含有一个虚单位i。四元数的加、减、乘、除运算自然也可以通过上述矩阵的加、减、乘、除运算来实现，这跟复数一样(复数的矩阵表示)。

这里再次见证了矩阵的强大。事实上，矩阵还可以表示一些非常抽象的东西，例如对称操作、图(矩阵运算在网络问题中的一个应用)。从而可以通过具体数字的运算来表示和理解抽象事物间的转化或关系。这也是群表示理论的基本思想。